投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €10 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0006% / 12n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 29 年内每月月末存入 €100。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1007.2% / 12N = 348

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 4%n = 7

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €945，到期收益率为 7%（按年复利），麦考利久期为 8.9 年。如果收益率下降 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €945y = 7%D = 8.9Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 9.2%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.4r_e = 9.2%r_f = 1.5%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 12 年），每张交易价格为 €1 137。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 9%债券: 5 000 × €1 137票面利率 = 6%n = 12T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€20 000, €13 000, €25 000, €18 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 13 000CF₃ = 25 000CF₄ = 18 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €12 000, €10 000, €11 500, €8 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 000CF₃ = 11 500CF₄ = 8 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7414 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·5 = 60

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.349 = €7 413.72

答案

PV = €7 413.72

2.货币的时间价值

答案: FV = 116976 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·29 = 348

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(8.019 − 1)/0.006 = €116 976.28

答案

FV = €116 976.28

你自己存入了 €34 800；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 878.9 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.02, N = 14

票息的现值

€10.00·(1 − 0.7579)/0.02 = €121.06

面值的现值

€1 000·0.7579 = €757.88

价格

P = €878.94

答案

P = €878.94

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 1063 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.9/1.07 = 8.318

估计的价格变化

%ΔP ≈ −8.318·(−0.015) = 12.48%

P ≈ 945·(1 + 0.1248) = €1 062.90

答案

P = €1 062.90

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.2% − 1.5%)/1.4 = 5.5%

市场回报

r_m = 1.5% + 5.5% = 7%

答案

r_m = 7%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.912 %

债务成本 (YTM)

1137 = 60·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 4.498%

市场价值

D = 5 000·€1 137 = €5 685 000

V = €15 685 000, E/V = 0.6376, D/V = 0.3624

WACC

WACC = 0.6376·9% + 0.3624·4.498%·(1 − 0.28) = 6.912%

答案

WACC = 6.912%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6049 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 20 000/1.15 = 17 391.30

CF₂/(1 + 0.15)² = 13 000/1.322 = 9 829.87

CF₃/(1 + 0.15)³ = 25 000/1.521 = 16 437.91

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 18 000/1.749 = 10 291.56

相加

NPV = €−6 049.36

答案

NPV = €−6 049.36

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 16.29 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

12 000·1.06³ = 14 292.19

10 000·1.06² = 11 236.00

11 500·1.06¹ = 12 190.00

8 000·1.06⁰ = 8 000.00

TV = 45 718.19

MIRR

MIRR = (45 718.19/25 000)^1/4 − 1 = 16.29%

答案

MIRR = 16.29%

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