货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 2% 投资 €20 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。
PV = €20 0002% / 12n = 8
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 11 年内每月月末存入 €250。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €2502.4% / 12N = 132
FV = €
3.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 7% 变为 6%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 4%n = 9y1 = 7%y2 = 6%
ΔP = €
4.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 8 年后到期，售价为 €910。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 8P = €910
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 25.8%。求 WACC。
E = €5 000 000Ps = €1 000 000D = €3 000 000re = 11%rp = 6.5%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €36.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。
β = 0.8rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€14 000, €25 000, €17 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 14 000CF2 = 25 000CF3 = 17 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €9 000, €14 500, €15 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 14 500CF3 = 15 500
IRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 23467 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.02/12 = 0.001667
N = m·n = 12·8 = 96
终值
FV = 20 000·(1 + 0.001667)96 = 20 000·1.173 = €23 467.09
答案
FV = €23 467.09
2.货币的时间价值
答案: FV = 37723 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·11 = 132
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.302 − 1)/0.002 = €37 723.12
答案
FV = €37 723.12
你自己存入了 €33 000；其余是利息。
3.债券定价与收益率
答案: ΔP = 59.42 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €40.00, i = 0.07, N = 9
€40.00·(1 − 0.5439)/0.07 + €1 000·0.5439 = €260.61 + €543.93 = €804.54
按新收益率计算的价格
C = €40.00, i = 0.06, N = 9
€40.00·(1 − 0.5919)/0.06 + €1 000·0.5919 = €272.07 + €591.90 = €863.97
变化
ΔP = 863.97 − 804.54 = €59.42
答案
ΔP = €59.42
4.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.477 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€910 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数值求解
P(6%) = €937.90, P(7%) = €880.57
YTM = 6.477%
答案
YTM = 6.477%
5.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.946 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 5 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €9 000 000
E/V = 0.5556, Ps/V = 0.1111, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.5556·11% + 0.1111·6.5% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.258) = 7.946%
答案
WACC = 7.946%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.918 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€36.50 = €182 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 0.8·6% = 8.3%
权重
V = €202 900 000, E/V = 0.8995, D/V = 0.1005
WACC
WACC = 0.8995·8.3% + 0.1005·6%·(1 − 0.25) = 7.918%
答案
WACC = 7.918%
7.NPV 与 IRR
答案: NPV = −10269 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 14 000/1.06 = 13 207.55
CF2/(1 + 0.06)2 = 25 000/1.124 = 22 249.91
CF3/(1 + 0.06)3 = 17 000/1.191 = 14 273.53
相加
NPV = €−10 269.01
答案
NPV = €−10 269.01
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
8.NPV 与 IRR
答案: IRR = 23.56 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 1 539.35
NPV(25%) = −584.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·1 539.35/(1 539.35 − (−584.00)) = 23.62%
精确: NPV(23.56%) = 0 → IRR = 23.56%
答案
IRR = 23.56%
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