投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 24%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 24%m = 4

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0002.4% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 9%n = 11

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 13 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 084。发行人可在 5 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 084赎回价格 = €1 080赎回时间 5 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 6%。税率为 30%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €9.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 1%，市场回报率为 5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 1%r_m = 5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 9 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €4 000n = 9r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €11 000, €14 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 14 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 26.25 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.24/4 = 0.06

复利一年

EAR = (1 + 0.06)⁴ − 1 = 1.262 − 1 = 26.25%

答案

EAR = 26.25%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 212.4 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.887

A = 12 000·0.002/(1 − 0.887) = €212.44

答案

A = €212.44

3.债券定价与收益率

答案: P = 931.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.045, N = 22

票息的现值

€40.00·(1 − 0.3797)/0.045 = €551.38

面值的现值

€1 000·0.3797 = €379.70

价格

P = €931.08

答案

P = €931.08

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 7.316 %

收益率方程

1084 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

数值求解

y = 7%: €1 098.04

y = 8%: €1 054.45

YTC = 7.316%

答案

YTC = 7.316%

到期收益率为 6.995%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.178 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 6 000 000 = €18 000 000

E/V = 0.5556, P_s/V = 0.1111, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.5556·11% + 0.1111·6% + 0.3333·6%·(1 − 0.3) = 8.178%

答案

WACC = 8.178%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 3.288 %

市场价值

E = 5 000 000·€9.50 = €47 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.6·4% = 3.4%

权重

V = €85 900 000, E/V = 0.553, D/V = 0.447

WACC

WACC = 0.553·3.4% + 0.447·4.5%·(1 − 0.3) = 3.288%

答案

WACC = 3.288%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8802 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁹)/0.08 = 6.247

年化购置价格

30 000/6.247 = 4 802.39

EAC

EAC = 4 802.39 + 4 000 = €8 802.39

答案

EAC = €8 802.39

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.57 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 151.23

NPV(20%) = −1 111.11

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·151.23/(151.23 − (−1 111.11)) = 15.6%

精确: NPV(15.57%) = 0 → IRR = 15.57%

答案

IRR = 15.57%

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