投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €10 000。某账户年利率 4%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0004% / 4n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 27 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5004.8% / 12N = 324

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €923。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €923YTM = 5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 8 年后到期，售价为 €840。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 8P = €840

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 5.6%。无风险利率为 2%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.8r_e = 5.6%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.6T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 7 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €2 000n = 7r = 12%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €4 500, €4 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 500CF₃ = 4 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7568 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/4 = 0.01

N = 4·7 = 28

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.321 = €7 568.36

答案

PV = €7 568.36

2.货币的时间价值

答案: FV = 330652 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·27 = 324

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3.645 − 1)/0.004 = €330 651.67

答案

FV = €330 651.67

你自己存入了 €162 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.05)⁻¹⁰ = €613.91

票息

C = (923 − 613.91)/7.722 = €40.03

票面利率

c = 40.03/1000 = 4.003%

答案

c = 4.003%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.529 %

收益率方程

€840 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(5%) = €870.74, P(6%) = €813.71

YTM = 5.529%

答案

YTM = 5.529%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 6.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (5.6% − 2%)/0.8 = 4.5%

市场回报

r_m = 2% + 4.5% = 6.5%

答案

r_m = 6.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10.18 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.75·0.6) = 1.305

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.305·5.5% = 10.18%

答案

r_e = 10.18%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 6382 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12⁻⁷)/0.12 = 4.564

年化购置价格

20 000/4.564 = 4 382.35

EAC

EAC = 4 382.35 + 2 000 = €6 382.35

答案

EAC = €6 382.35

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 17.37 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 380.54

NPV(20%) = −393.52

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·380.54/(380.54 − (−393.52)) = 17.46%

精确: NPV(17.37%) = 0 → IRR = 17.37%

答案

IRR = 17.37%

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