投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 8%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €8 000g = 4%r = 8%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0005.4% / 12N = 72

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 3%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 8 年后到期，售价为 €895。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 8P = €895

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 9.13%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 9.13%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €27.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 4%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 4%r_m = 8.5%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€31 000, €17 000, €28 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 31 000CF₂ = 17 000CF₃ = 28 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €27 500，之后每年增长 4%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €27 500g = 4%n = 4r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 200000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0.08 − 0.04) = 8 000/0.04 = €200 000.00

答案

PV = €200 000.00

2.货币的时间价值

答案: A = 407.3 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7238

A = 25 000·0.0045/(1 − 0.7238) = €407.28

答案

A = €407.28

3.债券定价与收益率

答案: P = 1078 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.015, N = 18

票息的现值

€20.00·(1 − 0.7649)/0.015 = €313.45

面值的现值

€1 000·0.7649 = €764.91

价格

P = €1 078.36

答案

P = €1 078.36

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.966 %

收益率方程

€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(9%) = €944.65, P(10%) = €893.30

YTM = 9.966%

答案

YTM = 9.966%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7.504 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.13% − 1%)/1.25 = 6.504%

市场回报

r_m = 1% + 6.504% = 7.504%

答案

r_m = 7.504%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.954 %

市场价值

E = 5 000 000·€27.00 = €135 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.1·4.5% = 8.95%

权重

V = €173 400 000, E/V = 0.7785, D/V = 0.2215

WACC

WACC = 0.7785·8.95% + 0.2215·6%·(1 − 0.258) = 7.954%

答案

WACC = 7.954%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5869 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 31 000/1.05 = 29 523.81

CF₂/(1 + 0.05)² = 17 000/1.103 = 15 419.50

CF₃/(1 + 0.05)³ = 28 000/1.158 = 24 187.45

相加

NPV = €−5 869.24

答案

NPV = €−5 869.24

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3668 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁴ = 0.8599

PV = 27 500/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.8599) = 96 331.84

NPV

NPV = 96 331.84 − 100 000 = −€3 668.16

答案

NPV = −€3 668.16

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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