投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 7% 的利率连续复利投资 €2 000。求 7 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 7%t = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在第 12 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €150 0003.6% / 12N = 300k = 144

B = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，8 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 4.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 8y₁ = 5.5%y₂ = 4.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 165。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 9P = €1 165

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 6.7%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.8r_e = 6.7%r_f = 3.5%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €48.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 5 年内每年年末产生 €13 000，之后可以以 €5 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €13 000S = €5 000n = 5r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €5 500，之后每年增长 4%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €5 500g = 4%n = 10r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3265 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.07·7 = 0.49

e^0.49 = 1.632

终值

FV = 2 000·1.632 = €3 264.63

答案

FV = €3 264.63

2.货币的时间价值

答案: B = 94447 €

月供

i = 0.003, N = 300

A = 150 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻³⁰⁰) = €759.00

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 144 = 156

B = 759·(1 − (1 + 0.003)⁻¹⁵⁶)/0.003 = €94 447.32

答案

B = €94 447.32

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 72.49 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.055, N = 8

€80.00·(1 − 0.6516)/0.055 + €1 000·0.6516 = €506.77 + €651.60 = €1 158.36

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.045, N = 8

€80.00·(1 − 0.7032)/0.045 + €1 000·0.7032 = €527.67 + €703.19 = €1 230.86

变化

ΔP = 1 230.86 − 1 158.36 = €72.49

答案

ΔP = €72.49

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.98 %

收益率方程

€1 165 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(1%) = €1 256.98, P(2%) = €1 163.24

YTM = 1.98%

答案

YTM = 1.98%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (6.7% − 3.5%)/0.8 = 4%

市场回报

r_m = 3.5% + 4% = 7.5%

答案

r_m = 7.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.233 %

市场价值

E = 5 000 000·€48.00 = €240 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.8·5.5% = 7.4%

权重

V = €259 600 000, E/V = 0.9245, D/V = 0.0755

WACC

WACC = 0.9245·7.4% + 0.0755·7%·(1 − 0.258) = 7.233%

答案

WACC = 7.233%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5308 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

13 000·3.993 = 51 905.23

残值的现值

5 000/1.469 = 3 402.92

NPV

NPV = −50 000 + 51 905.23 + 3 402.92 = €5 308.15

答案

NPV = €5 308.15

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6775 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))¹⁰ = 0.6856

PV = 5 500/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.6856) = 43 224.57

NPV

NPV = 43 224.57 − 50 000 = −€6 775.43

答案

NPV = −€6 775.43

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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