货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €1 000，共 7 年。年利率为 7%。求该年金的现值 PV。
A = €1 000i = 7%n = 7
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €150 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。
P = €150 0004.2% / 12N = 240
A = €
3.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 14 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €836。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 14P = €836YTM = 3.5%
c = %
4.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 18 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）售价 €1 198。发行人可在 5 年后以 €1 050 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%P = €1 198赎回价格 = €1 050赎回时间 5 年
YTC = %
5.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 5.8%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.8re = 5.8%rf = 1%
rm = %
6.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €24.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 1%，市场回报率为 5%。求 WACC。
β = 1.5rf = 1%rm = 5%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €40 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €13 500, €8 000, €8 500, €14 500, €15 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 6%CF0 = −40 000CF1 = 13 500CF2 = 8 000CF3 = 8 500CF4 = 14 500CF5 = 15 000
DPB = 年
8.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €6 500, €7 000, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 7 000CF3 = 7 000
IRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 5389 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.6227)/0.07 = 5.389
现值
PV = 1 000·5.389 = €5 389.29
答案
PV = €5 389.29
2.货币的时间价值
答案: A = 924.9 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·20 = 240
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.4323
A = 150 000·0.0035/(1 − 0.4323) = €924.86
答案
A = €924.86
3.债券定价与收益率
答案: c = 1.998 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.035)−14 = €617.78
票息
C = (836 − 617.78)/10.92 = €19.98
票面利率
c = 19.98/1000 = 1.998%
答案
c = 1.998%
4.债券定价与收益率
答案: YTC = 1.79 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1198 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
数值求解
y = 1%: €1 241.71
y = 2%: €1 186.69
YTC = 1.79%
答案
YTC = 1.79%
到期收益率为 3.499%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
5.CAPM 与 WACC
答案: rm = 7 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (5.8% − 1%)/0.8 = 6%
市场回报
rm = 1% + 6% = 7%
答案
rm = 7%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.685 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€24.00 = €48 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
股权成本（CAPM）
re = 1% + 1.5·4% = 7%
权重
V = €52 900 000, E/V = 0.9074, D/V = 0.09263
WACC
WACC = 0.9074·7% + 0.09263·4.5%·(1 − 0.2) = 6.685%
答案
WACC = 6.685%
7.NPV 与 IRR
答案: DPB = 4.136 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 13 500/1.06 = 12 735.85 → Σ = 12 735.85
年份 2: 8 000/1.124 = 7 119.97 → Σ = 19 855.82
年份 3: 8 500/1.191 = 7 136.76 → Σ = 26 992.58
年份 4: 14 500/1.262 = 11 485.36 → Σ = 38 477.94
年份 5: 15 000/1.338 = 11 208.87 → Σ = 49 686.82
最后一年的分数
DPB = 4 + 1 522.06/11 208.87 = 4.136
答案
DPB = 4.136 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.69 年）。
8.NPV 与 IRR
答案: IRR = 45.88 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(45%) = 108.25
NPV(50%) = −481.48
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 45 + 5·108.25/(108.25 − (−481.48)) = 45.92%
精确: NPV(45.88%) = 0 → IRR = 45.88%
答案
IRR = 45.88%
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