投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €3 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0003.6% / 12n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0005.4% / 12N = 72

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 5 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 5y₀ = 5%y₁ = 4.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 14 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 240。发行人可在 3 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 240赎回价格 = €1 080赎回时间 3 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €50.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 1%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 1%r_m = 5.5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €20 000, €13 500, €15 000, €19 000, €22 000, €19 500。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 13 500CF₃ = 15 000CF₄ = 19 000CF₅ = 22 000CF₆ = 19 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €30 000, €34 000, €29 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 34 000CF₃ = 29 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3464 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·4 = 48

终值

FV = 3 000·(1 + 0.003)⁴⁸ = 3 000·1.155 = €3 463.91

答案

FV = €3 463.91

2.货币的时间价值

答案: A = 325.8 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7238

A = 20 000·0.0045/(1 − 0.7238) = €325.82

答案

A = €325.82

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 6.918 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.05, N = 5

€20.00·(1 − 0.7835)/0.05 + €1 000·0.7835 = €86.59 + €783.53 = €870.12

卖出价

C = €20.00, i = 0.045, N = 4

€20.00·(1 − 0.8386)/0.045 + €1 000·0.8386 = €71.75 + €838.56 = €910.31

持有期收益率

HPR = (20 + 910.31 − 870.12)/870.12 = 6.918%

答案

HPR = 6.918%

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 2.246 %

收益率方程

1240 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

数值求解

y = 2%: €1 248.42

y = 3%: €1 214.64

YTC = 2.246%

答案

YTC = 2.246%

到期收益率为 5.498%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.49 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·11% + 0.4·3%·(1 − 0.258) = 7.49%

答案

WACC = 7.49%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.379 %

市场价值

E = 2 000 000·€50.00 = €100 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.5·4.5% = 7.75%

权重

V = €139 200 000, E/V = 0.7184, D/V = 0.2816

WACC

WACC = 0.7184·7.75% + 0.2816·4%·(1 − 0.28) = 6.379%

答案

WACC = 6.379%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.47 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 20 000/1.1 = 18 181.82 → Σ = 18 181.82

年份 2: 13 500/1.21 = 11 157.02 → Σ = 29 338.84

年份 3: 15 000/1.331 = 11 269.72 → Σ = 40 608.56

年份 4: 19 000/1.464 = 12 977.26 → Σ = 53 585.82

年份 5: 22 000/1.611 = 13 660.27 → Σ = 67 246.09

最后一年的分数

DPB = 4 + 6 414.18/13 660.27 = 4.47

答案

DPB = 4.47 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.605 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 39.26 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 2 867.96

NPV(40%) = −473.76

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·2 867.96/(2 867.96 − (−473.76)) = 39.29%

精确: NPV(39.26%) = 0 → IRR = 39.26%

答案

IRR = 39.26%

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