投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €3 000，共 5 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €3 000i = 6%n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 13 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 13 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 7%n = 13

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 6%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 14 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）售价 €1 226。发行人可在 6 年后以 €1 050 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%P = €1 226赎回价格 = €1 050赎回时间 6 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €58.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€10 000, €9 000, €6 000, €8 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 000CF₃ = 6 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 500, €7 500, €4 500。项目 B 需投入 €30 000，回报为 €7 500, €12 000, €16 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 500B: −30 000, 7 500, 12 000, 16 500

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12637 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7473)/0.06 = 4.212

现值

PV = 3 000·4.212 = €12 637.09

答案

PV = €12 637.09

2.货币的时间价值

答案: FV = 107752 €

普通年金系数

((1 + 0.07)¹³ − 1)/0.07 = 20.14

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·20.14·1.07 = €107 752.44

答案

FV = €107 752.44

3.债券定价与收益率

答案: P = 1085 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.03, N = 24

票息的现值

€35.00·(1 − 0.4919)/0.03 = €592.74

面值的现值

€1 000·0.4919 = €491.93

价格

P = €1 084.68

答案

P = €1 084.68

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 1.791 %

收益率方程

1226 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1050/(1 + y)⁶

数值求解

y = 1%: €1 278.92

y = 2%: €1 212.44

YTC = 1.791%

答案

YTC = 1.791%

到期收益率为 2.999%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.133 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.3333·3%·(1 − 0.2) = 8.133%

答案

WACC = 8.133%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.88 %

市场价值

E = 2 000 000·€58.50 = €117 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.8·6.5% = 13.2%

权重

V = €138 000 000, E/V = 0.8478, D/V = 0.1522

WACC

WACC = 0.8478·13.2% + 0.1522·6%·(1 − 0.25) = 11.88%

答案

WACC = 11.88%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 6501 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 10 000/1.1 = 9 090.91

CF₂/(1 + 0.1)² = 9 000/1.21 = 7 438.02

CF₃/(1 + 0.1)³ = 6 000/1.331 = 4 507.89

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 8 000/1.464 = 5 464.11

相加

NPV = €6 500.92

答案

NPV = €6 500.92

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 6.961 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 7 500 − 11 500 = −4 000

ΔCF₂ = 12 000 − 7 500 = 4 500

ΔCF₃ = 16 500 − 4 500 = 12 000

差额的 IRR

NPV_Δ(6%) = 306.83

NPV_Δ(7%) = −12.27

r* = 6.961%

答案

r* = 6.961%

校核：在 6.961% 时两个 NPV 都是 €984.56。

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