投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €10 000。求 15 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 5%t = 15

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €300。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €12 000A = €3005.4% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €801。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 4P = €801YTM = 8%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 7 年后到期，售价为 €915。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7P = €915

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 6%。税率为 28%。求 WACC。

E = €5 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.1。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 25.8%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.75T = 25.8%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€5 000, €6 000, €9 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 500, €7 000, €6 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 21170 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·15 = 0.75

e^0.75 = 2.117

终值

FV = 10 000·2.117 = €21 170.00

答案

FV = €21 170.00

2.货币的时间价值

答案: N = 45 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.0045/300 = 0.82

用对数求解

N = −ln(0.82)/ln(1.004) = 44.2

向上取整到整次还款

44 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 45

答案

N = 45 次还款

3.债券定价与收益率

答案: c = 1.992 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻⁴ = €735.03

票息

C = (801 − 735.03)/3.312 = €19.92

票面利率

c = 19.92/1000 = 1.992%

答案

c = 1.992%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.495 %

收益率方程

€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(5%) = €942.14, P(6%) = €888.35

YTM = 5.495%

答案

YTM = 5.495%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.996 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €10 000 000

E/V = 0.5, P_s/V = 0.2, D/V = 0.3

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.2·6% + 0.3·6%·(1 − 0.28) = 7.996%

答案

WACC = 7.996%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.922 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.1/(1 + 0.742·0.4) = 0.8482

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.8482·(1 + 0.742·0.75) = 1.32

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.32·6% = 8.922%

答案

r_e = 8.922%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4347 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 5 000/1.12 = 4 464.29

CF₂/(1 + 0.12)² = 6 000/1.254 = 4 783.16

CF₃/(1 + 0.12)³ = 9 000/1.405 = 6 406.02

相加

NPV = €−4 346.53

答案

NPV = €−4 346.53

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 49 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(45%) = 469.88

NPV(50%) = −111.11

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 45 + 5·469.88/(469.88 − (−111.11)) = 49.04%

精确: NPV(49%) = 0 → IRR = 49%

答案

IRR = 49%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation