投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €20 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0003.6% / 12n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0004.2% / 12N = 240

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 5.5%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，6 年后到期。其售价为 €1 218。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 6P = €1 218

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €39.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1%r_m = 5.5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €12 000, €10 000, €13 000, €12 500。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 000CF₃ = 13 000CF₄ = 12 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €6 000, €4 500, €4 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 500CF₃ = 4 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 13961 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·10 = 120

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.433 = €13 961.05

答案

PV = €13 961.05

2.货币的时间价值

答案: A = 1541 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4323

A = 250 000·0.0035/(1 − 0.4323) = €1 541.43

答案

A = €1 541.43

3.债券定价与收益率

答案: P = 1025 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.0275, N = 12

票息的现值

€30.00·(1 − 0.7221)/0.0275 = €303.13

面值的现值

€1 000·0.7221 = €722.13

价格

P = €1 025.26

答案

P = €1 025.26

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.002 %

每期

C = €35.00, N = 12

数值求解

i = 1.501% 每半年

YTM

YTM = 2·1.501% = 3.002%

答案

YTM = 3.002%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.916 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·12% + 0.6·7%·(1 − 0.258) = 7.916%

答案

WACC = 7.916%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.181 %

市场价值

E = 4 000 000·€39.50 = €158 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.2·4.5% = 6.4%

权重

V = €168 500 000, E/V = 0.9377, D/V = 0.06231

WACC

WACC = 0.9377·6.4% + 0.06231·4%·(1 − 0.28) = 6.181%

答案

WACC = 6.181%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 2.846 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 12 000/1.05 = 11 428.57 → Σ = 11 428.57

年份 2: 10 000/1.103 = 9 070.29 → Σ = 20 498.87

年份 3: 13 000/1.158 = 11 229.89 → Σ = 31 728.75

最后一年的分数

DPB = 2 + 9 501.13/11 229.89 = 2.846

答案

DPB = 2.846 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.615 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 23.01 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 439.81

NPV(25%) = −272.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·439.81/(439.81 − (−272.00)) = 23.09%

精确: NPV(23.01%) = 0 → IRR = 23.01%

答案

IRR = 23.01%

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