投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €20 000。求 2 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 5%t = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €3 000，共 16 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 16 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €3 000i = 4%n = 16

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 9 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €1 174。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 9P = €1 174YTM = 5.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €910，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 4.4 年。如果收益率下降 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €910y = 4%D = 4.4Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €37.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 5 年内每年年末产生 €11 000，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €11 000S = €7 500n = 5r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €10 000, €12 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 22103 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·2 = 0.1

e^0.1 = 1.105

终值

FV = 20 000·1.105 = €22 103.42

答案

FV = €22 103.42

2.货币的时间价值

答案: FV = 68093 €

普通年金系数

((1 + 0.04)¹⁶ − 1)/0.04 = 21.82

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 3 000·21.82·1.04 = €68 092.54

答案

FV = €68 092.54

3.债券定价与收益率

答案: c = 8.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)⁻⁹ = €617.63

票息

C = (1174 − 617.63)/6.952 = €80.03

票面利率

c = 80.03/1000 = 8.003%

答案

c = 8.003%

4.债券定价与收益率

答案: P = 967.8 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 4.4/1.04 = 4.231

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.231·(−0.015) = 6.346%

P ≈ 910·(1 + 0.06346) = €967.75

答案

P = €967.75

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.594 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·14% + 0.375·3%·(1 − 0.25) = 9.594%

答案

WACC = 9.594%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.948 %

市场价值

E = 2 500 000·€37.00 = €92 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·6.5% = 7.2%

权重

V = €97 600 000, E/V = 0.9477, D/V = 0.05225

WACC

WACC = 0.9477·7.2% + 0.05225·3%·(1 − 0.21) = 6.948%

答案

WACC = 6.948%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3644 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 000·3.791 = 41 698.65

残值的现值

7 500/1.611 = 4 656.91

NPV

NPV = −50 000 + 41 698.65 + 4 656.91 = −€3 644.44

答案

NPV = −€3 644.44

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.916 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 861.68

NPV(10%) = −578.51

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·861.68/(861.68 − (−578.51)) = 7.992%

精确: NPV(7.916%) = 0 → IRR = 7.916%

答案

IRR = 7.916%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation