投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 4 年。年利率为 7%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 7%n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 20 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503% / 12N = 240

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 13 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €791。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 13P = €791YTM = 7%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 3.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3YTM = 3.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €14.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在 5 年内每年年末回报 €9 000。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000CF₅ = 9 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €14 500，之后每年增长 4%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €14 500g = 4%n = 5r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 27098 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7629)/0.07 = 3.387

现值

PV = 8 000·3.387 = €27 097.69

答案

PV = €27 097.69

2.货币的时间价值

答案: FV = 49245 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·20 = 240

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.821 − 1)/0.0025 = €49 245.30

答案

FV = €49 245.30

你自己存入了 €36 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.499 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹³ = €414.96

票息

C = (791 − 414.96)/8.358 = €44.99

票面利率

c = 44.99/1000 = 4.499%

答案

c = 4.499%

4.债券定价与收益率

答案: D = 2.862 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 50/1.035 = 48.31, t·PV = 48.31

t = 2: 50/1.071 = 46.68, t·PV = 93.35

t = 3: 1050/1.109 = 947.04, t·PV = 2 841.12

久期

P = 1 042.02

D = 2 982.78/1 042.02 = 2.862

答案

D = 2.862 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.844 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·14% + 0.4444·3%·(1 − 0.2) = 8.844%

答案

WACC = 8.844%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.529 %

市场价值

E = 2 000 000·€14.00 = €28 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·5% = 9%

权重

V = €47 600 000, E/V = 0.5882, D/V = 0.4118

WACC

WACC = 0.5882·9% + 0.4118·4%·(1 − 0.25) = 6.529%

答案

WACC = 6.529%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.522 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 9 000/1.12 = 8 035.71 → Σ = 8 035.71

年份 2: 9 000/1.254 = 7 174.74 → Σ = 15 210.46

年份 3: 9 000/1.405 = 6 406.02 → Σ = 21 616.48

年份 4: 9 000/1.574 = 5 719.66 → Σ = 27 336.14

年份 5: 9 000/1.762 = 5 106.84 → Σ = 32 442.99

最后一年的分数

DPB = 4 + 2 663.86/5 106.84 = 4.522

答案

DPB = 4.522 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.333 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −17662 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁵ = 0.828

PV = 14 500/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.828) = 62 337.85

NPV

NPV = 62 337.85 − 80 000 = −€17 662.15

答案

NPV = −€17 662.15

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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