投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €2 000，按季度复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003% / 4n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 11 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503.6% / 12N = 132

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 3% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 2%n = 12y₁ = 3%y₂ = 5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €960

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €33.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 1%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €55 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €55 000g = 1%r = 11%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 000, €11 500, €9 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 11 500CF₃ = 9 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2254 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·4 = 16

终值

FV = 2 000·(1 + 0.0075)¹⁶ = 2 000·1.127 = €2 253.98

答案

FV = €2 253.98

2.货币的时间价值

答案: FV = 24249 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·11 = 132

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.485 − 1)/0.003 = €24 249.44

答案

FV = €24 249.44

你自己存入了 €19 800；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −166.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.03, N = 12

€20.00·(1 − 0.7014)/0.03 + €1 000·0.7014 = €199.08 + €701.38 = €900.46

按新收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.05, N = 12

€20.00·(1 − 0.5568)/0.05 + €1 000·0.5568 = €177.27 + €556.84 = €734.10

变化

ΔP = 734.10 − 900.46 = −€166.36

答案

ΔP = −€166.36

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.597 %

收益率方程

€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(9%) = €974.69, P(10%) = €950.26

YTM = 9.597%

答案

YTM = 9.597%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.42 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·10% + 0.2·3%·(1 − 0.3) = 8.42%

答案

WACC = 8.42%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.353 %

市场价值

E = 2 000 000·€33.00 = €66 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.6·5.5% = 4.3%

权重

V = €71 100 000, E/V = 0.9283, D/V = 0.07173

WACC

WACC = 0.9283·4.3% + 0.07173·7%·(1 − 0.28) = 4.353%

答案

WACC = 4.353%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 50000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 55 000/(0.11 − 0.01) = 550 000.00

NPV

NPV = 550 000.00 − 500 000 = €50 000.00

答案

NPV = €50 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 33.39 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 901.23

NPV(35%) = −402.38

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·901.23/(901.23 − (−402.38)) = 33.46%

精确: NPV(33.39%) = 0 → IRR = 33.39%

答案

IRR = 33.39%

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