投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0005% / 4n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 4.2% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €1 100。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €1 1004.2% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 8%n = 10

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 8P = €1 060

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €24.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1%，市场回报率为 6%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1%r_m = 6%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 9 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €3 000n = 9r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €28 500, €17 500, €20 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 17 500CF₃ = 20 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6084 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·10 = 40

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.644 = €6 084.13

答案

PV = €6 084.13

2.货币的时间价值

答案: N = 24 次还款

将年金公式变形

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.0035/1100 = 0.9205

用对数求解

N = −ln(0.9205)/ln(1.004) = 23.72

向上取整到整次还款

23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 24

答案

N = 24 次还款

3.债券定价与收益率

答案: P = 728.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.04, N = 20

票息的现值

€20.00·(1 − 0.4564)/0.04 = €271.81

面值的现值

€1 000·0.4564 = €456.39

价格

P = €728.19

答案

P = €728.19

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.033 %

收益率方程

€1 060 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(6%) = €1 062.10, P(7%) = €1 000.00

YTM = 6.033%

答案

YTM = 6.033%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.375 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·11% + 0.625·5%·(1 − 0.28) = 6.375%

答案

WACC = 6.375%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.355 %

市场价值

E = 2 000 000·€24.50 = €49 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.2·5% = 7%

权重

V = €89 000 000, E/V = 0.5506, D/V = 0.4494

WACC

WACC = 0.5506·7% + 0.4494·4.5%·(1 − 0.258) = 5.355%

答案

WACC = 5.355%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 9403 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁹)/0.08 = 6.247

年化购置价格

40 000/6.247 = 6 403.19

EAC

EAC = 6 403.19 + 3 000 = €9 403.19

答案

EAC = €9 403.19

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 32.65 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 1 381.43

NPV(35%) = −1 157.85

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·1 381.43/(1 381.43 − (−1 157.85)) = 32.72%

精确: NPV(32.65%) = 0 → IRR = 32.65%

答案

IRR = 32.65%

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