投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0005% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €1 000，共 26 年，第一笔今天存入。账户年利率为 8%。第 26 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €1 000i = 8%n = 26

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 9% 时其售价为 €592。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 11P = €592YTM = 9%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 10 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 10P = €925

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 9%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €8.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €25 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €25 000g = 2%r = 11%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €7 000, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000CF₃ = 5 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7052 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.418 = €7 052.01

答案

PV = €7 052.01

2.货币的时间价值

答案: FV = 86351 €

普通年金系数

((1 + 0.08)²⁶ − 1)/0.08 = 79.95

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 1 000·79.95·1.08 = €86 350.77

答案

FV = €86 350.77

3.债券定价与收益率

答案: c = 3.005 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.09)⁻¹¹ = €387.53

票息

C = (592 − 387.53)/6.805 = €30.05

票面利率

c = 30.05/1000 = 3.005%

答案

c = 3.005%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.02 %

收益率方程

€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(6%) = €926.40, P(7%) = €859.53

YTM = 6.02%

答案

YTM = 6.02%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.75 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·9% + 0.3333·7%·(1 − 0.25) = 7.75%

答案

WACC = 7.75%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.461 %

市场价值

E = 2 000 000·€8.00 = €16 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·5% = 9%

权重

V = €37 000 000, E/V = 0.4324, D/V = 0.5676

WACC

WACC = 0.4324·9% + 0.5676·3.5%·(1 − 0.21) = 5.461%

答案

WACC = 5.461%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 27778 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 25 000/(0.11 − 0.02) = 277 777.78

NPV

NPV = 277 777.78 − 250 000 = €27 777.78

答案

NPV = €27 777.78

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.13 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 496.00

NPV(30%) = −277.65

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·496.00/(496.00 − (−277.65)) = 28.21%

精确: NPV(28.13%) = 0 → IRR = 28.13%

答案

IRR = 28.13%

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