投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €3 000，按季度复利。求 2 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0004.8% / 4n = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €250。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €15 000A = €2505.4% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 7%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 9y₁ = 6%y₂ = 7%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 4%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 6YTM = 4%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 4%。税率为 30%。求 WACC。

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 7%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €1 077。税率为 20%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €6 000 000r_e = 10%债券: 8 000 × €1 077票面利率 = 6%n = 10T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €14 000, €10 000, €15 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 10 000CF₄ = 15 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 000, €8 500, €8 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 8 500CF₃ = 8 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3300 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·2 = 8

终值

FV = 3 000·(1 + 0.012)⁸ = 3 000·1.1 = €3 300.39

答案

FV = €3 300.39

2.货币的时间价值

答案: N = 71 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0045/250 = 0.73

用对数求解

N = −ln(0.73)/ln(1.004) = 70.09

向上取整到整次还款

70 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 71

答案

N = 71 次还款

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −60.86 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.06, N = 9

€45.00·(1 − 0.5919)/0.06 + €1 000·0.5919 = €306.08 + €591.90 = €897.97

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.07, N = 9

€45.00·(1 − 0.5439)/0.07 + €1 000·0.5439 = €293.19 + €543.93 = €837.12

变化

ΔP = 837.12 − 897.97 = −€60.86

答案

ΔP = −€60.86

4.债券定价与收益率

答案: D = 5.171 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 70/1.04 = 67.31, t·PV = 67.31

t = 2: 70/1.082 = 64.72, t·PV = 129.44

t = 3: 70/1.125 = 62.23, t·PV = 186.69

t = 4: 70/1.17 = 59.84, t·PV = 239.35

t = 5: 70/1.217 = 57.53, t·PV = 287.67

t = 6: 1070/1.265 = 845.64, t·PV = 5 073.82

久期

P = 1 157.26

D = 5 984.27/1 157.26 = 5.171

答案

D = 5.171 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €18 000 000

E/V = 0.6667, P_s/V = 0.05556, D/V = 0.2778

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.05556·7% + 0.2778·4%·(1 − 0.3) = 10.5%

答案

WACC = 10.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.464 %

债务成本 (YTM)

1077 = 60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 5.003%

市场价值

D = 8 000·€1 077 = €8 616 000

V = €14 616 000, E/V = 0.4105, D/V = 0.5895

WACC

WACC = 0.4105·10% + 0.5895·5.003%·(1 − 0.2) = 6.464%

答案

WACC = 6.464%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 945.1 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 14 000/1.06 = 13 207.55

CF₂/(1 + 0.06)² = 14 000/1.124 = 12 459.95

CF₃/(1 + 0.06)³ = 10 000/1.191 = 8 396.19

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 15 000/1.262 = 11 881.40

相加

NPV = €945.10

答案

NPV = €945.10

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 19.96 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 1 581.33

NPV(20%) = −11.57

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·1 581.33/(1 581.33 − (−11.57)) = 19.96%

精确: NPV(19.96%) = 0 → IRR = 19.96%

答案

IRR = 19.96%

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