投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €1 000。求 7 年后的价值 FV。

PV = €1 000r = 5%t = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 3 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0003% / 12N = 300k = 36

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 6%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 5.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 4YTM = 5.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 4%。税率为 20%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 6.5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 25.8%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 4.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.6T = 25.8%r_f = 1%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €6 500, €5 000, €8 500, €6 500, €9 000, €5 000。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 000CF₃ = 8 500CF₄ = 6 500CF₅ = 9 000CF₆ = 5 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €40 000，之后每年增长 3%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €40 000g = 3%n = 6r = 10%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1419 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·7 = 0.35

e^0.35 = 1.419

终值

FV = 1 000·1.419 = €1 419.07

答案

FV = €1 419.07

2.货币的时间价值

答案: B = 274695 €

月供

i = 0.0025, N = 300

A = 300 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁰⁰) = €1 422.63

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 36 = 264

B = 1423·(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁶⁴)/0.0025 = €274 695.13

答案

B = €274 695.13

3.债券定价与收益率

答案: P = 914.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.03, N = 10

票息的现值

€20.00·(1 − 0.7441)/0.03 = €170.60

面值的现值

€1 000·0.7441 = €744.09

价格

P = €914.70

答案

P = €914.70

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.72 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 50/1.055 = 47.39, t·PV = 47.39

t = 2: 50/1.113 = 44.92, t·PV = 89.85

t = 3: 50/1.174 = 42.58, t·PV = 127.74

t = 4: 1050/1.239 = 847.58, t·PV = 3 390.31

久期

P = 982.47

D = 3 655.29/982.47 = 3.72

答案

D = 3.72 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.786 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.381, P_s/V = 0.1429, D/V = 0.4762

WACC

WACC = 0.381·14% + 0.1429·6.5% + 0.4762·4%·(1 − 0.2) = 7.786%

答案

WACC = 7.786%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.928 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.742·0.2) = 1.219

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.219·(1 + 0.742·0.6) = 1.762

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.762·4.5% = 8.928%

答案

r_e = 8.928%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.361 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 6 500/1.05 = 6 190.48 → Σ = 6 190.48

年份 2: 5 000/1.103 = 4 535.15 → Σ = 10 725.62

年份 3: 8 500/1.158 = 7 342.62 → Σ = 18 068.24

年份 4: 6 500/1.216 = 5 347.57 → Σ = 23 415.81

最后一年的分数

DPB = 3 + 1 931.76/5 347.57 = 3.361

答案

DPB = 3.361 年

折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −13721 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.03)/(1.1))⁶ = 0.674

PV = 40 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.674) = 186 279.20

NPV

NPV = 186 279.20 − 200 000 = −€13 720.80

答案

NPV = −€13 720.80

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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