投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 24%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 24%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 15 年内每月月末存入 €250。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2503% / 12N = 180

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 7 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €971。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 7P = €971YTM = 5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 020，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 4.5 年。如果收益率下降 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 020y = 4%D = 4.5Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 1.5r_e = 9%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €26.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3%r_m = 7.5%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €11 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €11 000g = 3%r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 500, €16 000, €8 500。项目 B 需投入 €45 000，回报为 €13 000, €17 000, €23 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 22 500, 16 000, 8 500B: −45 000, 13 000, 17 000, 23 500

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 26.82 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.24/12 = 0.02

复利一年

EAR = (1 + 0.02)¹² − 1 = 1.268 − 1 = 26.82%

答案

EAR = 26.82%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 56743 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·15 = 180

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.567 − 1)/0.0025 = €56 743.17

答案

FV = €56 743.17

你自己存入了 €45 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.499 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.05)⁻⁷ = €710.68

票息

C = (971 − 710.68)/5.786 = €44.99

票面利率

c = 44.99/1000 = 4.499%

答案

c = 4.499%

4.债券定价与收益率

答案: P = 1064 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 4.5/1.04 = 4.327

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.327·(−0.01) = 4.327%

P ≈ 1020·(1 + 0.04327) = €1 064.13

答案

P = €1 064.13

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.022 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·9% + 0.6·3%·(1 − 0.21) = 5.022%

答案

WACC = 5.022%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.589 %

市场价值

E = 2 500 000·€26.00 = €65 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.3·4.5% = 8.85%

权重

V = €70 000 000, E/V = 0.9286, D/V = 0.07143

WACC

WACC = 0.9286·8.85% + 0.07143·7%·(1 − 0.258) = 8.589%

答案

WACC = 8.589%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 22222 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 11 000/(0.12 − 0.03) = 122 222.22

NPV

NPV = 122 222.22 − 100 000 = €22 222.22

答案

NPV = €22 222.22

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 4.4 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 13 000 − 22 500 = −9 500

ΔCF₂ = 17 000 − 16 000 = 1 000

ΔCF₃ = 23 500 − 8 500 = 15 000

差额的 IRR

NPV_Δ(4%) = 124.89

NPV_Δ(5%) = −183.03

r* = 4.4%

答案

r* = 4.4%

校核：在 4.4% 时两个 NPV 都是 €3 701.15。

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