投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €15 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0004.8% / 4n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €3 000，共 29 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 29 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €3 000i = 3%n = 29

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 7%n = 7

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，7 年后到期。其售价为 €971。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 7P = €971

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 4%，税率为 20%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.1。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.1D/E = 0.6T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €10 000, €7 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 10 000CF₃ = 7 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 500, €12 000, €5 500。项目 B 需投入 €40 000，回报为 €10 500, €16 500, €21 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 17 500, 12 000, 5 500B: −40 000, 10 500, 16 500, 21 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 11816 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·5 = 20

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.269 = €11 816.29

答案

PV = €11 816.29

2.货币的时间价值

答案: FV = 139726 €

普通年金系数

((1 + 0.03)²⁹ − 1)/0.03 = 45.22

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 3 000·45.22·1.03 = €139 726.25

答案

FV = €139 726.25

3.债券定价与收益率

答案: P = 727 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.035, N = 14

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6178)/0.035 = €109.21

面值的现值

€1 000·0.6178 = €617.78

价格

P = €726.99

答案

P = €726.99

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.996 %

每期

C = €22.50, N = 14

数值求解

i = 2.498% 每半年

YTM

YTM = 2·2.498% = 4.996%

答案

YTM = 4.996%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.9 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75

WACC

WACC = 0.25·10% + 0.75·4%·(1 − 0.2) = 4.9%

答案

WACC = 4.9%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.918 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.1·(1 + 0.79·0.6) = 1.621

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.621·5.5% = 9.918%

答案

r_e = 9.918%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2619 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 6 000/1.15 = 5 217.39

CF₂/(1 + 0.15)² = 10 000/1.322 = 7 561.44

CF₃/(1 + 0.15)³ = 7 000/1.521 = 4 602.61

相加

NPV = €−2 618.56

答案

NPV = €−2 618.56

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 7.112 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 500 − 17 500 = −7 000

ΔCF₂ = 16 500 − 12 000 = 4 500

ΔCF₃ = 21 000 − 5 500 = 15 500

差额的 IRR

NPV_Δ(7%) = 41.04

NPV_Δ(8%) = −319.06

r* = 7.112%

答案

r* = 7.112%

校核：在 7.112% 时两个 NPV 都是 €1 272.95。

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