投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
期数01211 + EAR = ?22% / 2

一张信用卡的名义年利率为 22%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 22%m = 2
EAR = %
2.货币的时间价值困难
年0123…19€5 000€5 000€5 000FV = ?

你在每年年初存入 €5 000，共 19 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 19 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 5%n = 19
FV = €
3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 5 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 8.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5y0 = 9%y1 = 8.5%
HPR = %
4.债券定价与收益率困难
年0123…9€895€40€40 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 9 年后到期，售价为 €895。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 9P = €895
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益Ere​ = 14%债务D = 0.6·Erd​ = 3.5%T = 30%

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。求 WACC。

D/E = 0.6re = 14%rd = 3.5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益€10 000 000re​ = 14%债券4 000 × €1 058票面利率 6%, n = 7T = 28%

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 14%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 7 年），每张交易价格为 €1 058。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000re = 14%债券: 4 000 × €1 058票面利率 = 6%n = 7T = 28%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年01234−60 00025 00021 00016 00017 000

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€25 000, €21 000, €16 000, €17 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF0 = −60 000CF1 = 25 000CF2 = 21 000CF3 = 16 000CF4 = 17 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123…8−80 0009 000+3%+3%+3%r = 10%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €9 000，之后每年增长 3%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 3%n = 8r = 10%
NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.21 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.22/2 = 0.11

复利一年

EAR = (1 + 0.11)2 − 1 = 1.232 − 1 = 23.21%

答案

EAR = 23.21%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 160330 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

普通年金系数

((1 + 0.05)19 − 1)/0.05 = 30.54

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·30.54·1.05 = €160 329.77

答案

FV = €160 329.77
3.债券定价与收益率

答案: HPR = 10.77 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.09, N = 5
€50.00·(1 − 0.6499)/0.09 + €1 000·0.6499 = €194.48 + €649.93 = €844.41

卖出价

C = €50.00, i = 0.085, N = 4
€50.00·(1 − 0.7216)/0.085 + €1 000·0.7216 = €163.78 + €721.57 = €885.35

持有期收益率

HPR = (50 + 885.35 − 844.41)/844.41 = 10.77%

答案

HPR = 10.77%
4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.511 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(5%) = €928.92, P(6%) = €863.97
YTM = 5.511%

答案

YTM = 5.511%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.669 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625
D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375

WACC

WACC = 0.625·14% + 0.375·3.5%·(1 − 0.3) = 9.669%

答案

WACC = 9.669%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.91 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

债务成本 (YTM)

1058 = 60·(1 − (1 + y)−7)/y + 1000/(1 + y)7
y = 4.998%

市场价值

D = 4 000·€1 058 = €4 232 000
V = €14 232 000, E/V = 0.7026, D/V = 0.2974

WACC

WACC = 0.7026·14% + 0.2974·4.998%·(1 − 0.28) = 10.91%

答案

WACC = 10.91%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 7737 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 25 000/1.07 = 23 364.49
CF2/(1 + 0.07)2 = 21 000/1.145 = 18 342.21
CF3/(1 + 0.07)3 = 16 000/1.225 = 13 060.77
CF4/(1 + 0.07)4 = 17 000/1.311 = 12 969.22

相加

NPV = €7 736.68

答案

NPV = €7 736.68

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −27409 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.03)/(1.1))8 = 0.591
PV = 9 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.591) = 52 591.17

NPV

NPV = 52 591.17 − 80 000 = −€27 408.83

答案

NPV = −€27 408.83

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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