投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 24%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 24%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你希望在 7 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0003.6% / 12N = 84

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 7%n = 7

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €970，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 3.2 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €970y = 4%D = 3.2Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。求 WACC。

D/E = 1.5r_e = 11%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €33.50；其股权账面价值为 €40 200 000。公司刚支付了每股 €3.00 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €33 500 000，税前成本为 4%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €33.50股权账面价值 = €40 200 000D₀ = €3.00g = 5%D = €33 500 000r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 5 年内每年年末产生 €9 000，之后可以以 €8 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €9 000S = €8 000n = 5r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €13 500, €10 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 13 500CF₃ = 10 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 25.44 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.24/2 = 0.12

复利一年

EAR = (1 + 0.12)² − 1 = 1.254 − 1 = 25.44%

答案

EAR = 25.44%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 786.4 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·7 = 84

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.003/(1.286 − 1) = €786.41

答案

A = €786.41

3.债券定价与收益率

答案: P = 836.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.035, N = 14

票息的现值

€20.00·(1 − 0.6178)/0.035 = €218.41

面值的现值

€1 000·0.6178 = €617.78

价格

P = €836.19

答案

P = €836.19

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 962.5 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 3.2/1.04 = 3.077

估计的价格变化

%ΔP ≈ −3.077·(0.0025) = −0.7692%

P ≈ 970·(1 − 0.007692) = €962.54

答案

P = €962.54

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.912 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·11% + 0.6·3.5%·(1 − 0.28) = 5.912%

答案

WACC = 5.912%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.59 %

股权成本

D₁ = 3·1.05 = €3.15

r_e = 3.15/33.5 + 0.05 = 14.4%

市场价值

E = 2 000 000·€33.50 = €67 000 000

V = €100 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14.4% + 0.3333·4%·(1 − 0.258) = 10.59%

答案

WACC = 10.59%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3018 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

9 000·3.605 = 32 442.99

残值的现值

8 000/1.762 = 4 539.41

NPV

NPV = −40 000 + 32 442.99 + 4 539.41 = −€3 017.60

答案

NPV = −€3 017.60

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.09 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 34.72

NPV(25%) = −1 784.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·34.72/(34.72 − (−1 784.00)) = 20.1%

精确: NPV(20.09%) = 0 → IRR = 20.09%

答案

IRR = 20.09%

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