投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €2 000，按月复利。求 2 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0002% / 12n = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0007.2% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 4% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 6%n = 12y₁ = 4%y₂ = 5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，5 年后到期。其售价为 €1 022。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 5P = €1 022

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 21%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €32.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 2.5%r_m = 6.5%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €12 000, €21 500, €11 500, €13 000, €15 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 12 000CF₂ = 21 500CF₃ = 11 500CF₄ = 13 000CF₅ = 15 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €55 000，之后每年增长 5%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €55 000g = 5%n = 4r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2082 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·2 = 24

终值

FV = 2 000·(1 + 0.001667)²⁴ = 2 000·1.041 = €2 081.55

答案

FV = €2 081.55

2.货币的时间价值

答案: A = 298.4 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.6984

A = 15 000·0.006/(1 − 0.6984) = €298.44

答案

A = €298.44

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −99.07 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.04, N = 12

€60.00·(1 − 0.6246)/0.04 + €1 000·0.6246 = €563.10 + €624.60 = €1 187.70

按新收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.05, N = 12

€60.00·(1 − 0.5568)/0.05 + €1 000·0.5568 = €531.80 + €556.84 = €1 088.63

变化

ΔP = 1 088.63 − 1 187.70 = −€99.07

答案

ΔP = −€99.07

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.01 %

每期

C = €22.50, N = 10

数值求解

i = 2.005% 每半年

YTM

YTM = 2·2.005% = 4.01%

答案

YTM = 4.01%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.925 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·13% + 0.5455·7%·(1 − 0.21) = 8.925%

答案

WACC = 8.925%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.608 %

市场价值

E = 1 000 000·€32.50 = €32 500 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.6·4% = 4.9%

权重

V = €37 750 000, E/V = 0.8609, D/V = 0.1391

WACC

WACC = 0.8609·4.9% + 0.1391·3.5%·(1 − 0.2) = 4.608%

答案

WACC = 4.608%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.408 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 12 000/1.1 = 10 909.09 → Σ = 10 909.09

年份 2: 21 500/1.21 = 17 768.60 → Σ = 28 677.69

年份 3: 11 500/1.331 = 8 640.12 → Σ = 37 317.81

年份 4: 13 000/1.464 = 8 879.17 → Σ = 46 196.98

年份 5: 15 000/1.611 = 9 313.82 → Σ = 55 510.80

最后一年的分数

DPB = 4 + 3 803.02/9 313.82 = 4.408

答案

DPB = 4.408 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.385 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4628 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.05)/(1.08))⁴ = 0.8934

PV = 55 000/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.8934) = 195 372.14

NPV

NPV = 195 372.14 − 200 000 = −€4 627.86

答案

NPV = −€4 627.86

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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