投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €1 000，按月复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0002% / 12n = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 3.6% 的利率借入 €10 000，按月复利，每月月末偿还 €300。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €10 000A = €3003.6% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 6 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €950。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 6P = €950YTM = 5.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 6 年后到期，售价为 €910。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 6P = €910

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €5 000 000，股权资本成本为 12%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 8 年），每张交易价格为 €968。税率为 25.8%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €5 000 000r_e = 12%债券: 2 000 × €968票面利率 = 5%n = 8T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€13 000, €15 000, €19 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 15 000CF₃ = 19 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €16 500, €16 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1127 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·6 = 72

终值

FV = 1 000·(1 + 0.001667)⁷² = 1 000·1.127 = €1 127.38

答案

FV = €1 127.38

2.货币的时间价值

答案: N = 36 次还款

将年金公式变形

i = 0.003

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0.003/300 = 0.9

用对数求解

N = −ln(0.9)/ln(1.003) = 35.17

向上取整到整次还款

35 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 36

答案

N = 36 次还款

3.债券定价与收益率

答案: c = 4.499 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)⁻⁶ = €725.25

票息

C = (950 − 725.25)/4.996 = €44.99

票面利率

c = 44.99/1000 = 4.499%

答案

c = 4.499%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.007 %

收益率方程

€910 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(9%) = €910.28, P(10%) = €869.34

YTM = 9.007%

答案

YTM = 9.007%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.66 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.5·6%·(1 − 0.28) = 7.66%

答案

WACC = 7.66%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.791 %

债务成本 (YTM)

968 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 5.505%

市场价值

D = 2 000·€968 = €1 936 000

V = €6 936 000, E/V = 0.7209, D/V = 0.2791

WACC

WACC = 0.7209·12% + 0.2791·5.505%·(1 − 0.258) = 9.791%

答案

WACC = 9.791%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4239 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 13 000/1.07 = 12 149.53

CF₂/(1 + 0.07)² = 15 000/1.145 = 13 101.58

CF₃/(1 + 0.07)³ = 19 000/1.225 = 15 509.66

相加

NPV = €−4 239.23

答案

NPV = €−4 239.23

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.69 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 208.33

NPV(25%) = −1 240.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·208.33/(208.33 − (−1 240.00)) = 20.72%

精确: NPV(20.69%) = 0 → IRR = 20.69%

答案

IRR = 20.69%

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