投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €40 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0005% / 4n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 5 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 5 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 5%n = 5

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 2.5%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 080。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7P = €1 080

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 28%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €21.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 8 年内每年年末产生 €16 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €16 500S = €10 000n = 8r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €40 000，之后每年增长 3%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €40 000g = 3%n = 6r = 10%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 24337 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·10 = 40

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.644 = €24 336.53

答案

PV = €24 336.53

2.货币的时间价值

答案: FV = 29010 €

普通年金系数

((1 + 0.05)⁵ − 1)/0.05 = 5.526

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·5.526·1.05 = €29 009.56

答案

FV = €29 009.56

3.债券定价与收益率

答案: P = 1210 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0125, N = 10

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €327.09

面值的现值

€1 000·0.8832 = €883.18

价格

P = €1 210.27

答案

P = €1 210.27

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.539 %

收益率方程

€1 080 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(6%) = €1 111.65, P(7%) = €1 053.89

YTM = 6.539%

答案

YTM = 6.539%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.35 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·13% + 0.3333·7%·(1 − 0.28) = 10.35%

答案

WACC = 10.35%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.722 %

市场价值

E = 1 000 000·€21.00 = €21 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·4% = 10.2%

权重

V = €31 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10.2% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.21) = 7.722%

答案

WACC = 7.722%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7309 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

16 500·5.335 = 88 026.28

残值的现值

10 000/2.144 = 4 665.07

NPV

NPV = −100 000 + 88 026.28 + 4 665.07 = −€7 308.64

答案

NPV = −€7 308.64

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −13721 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.1))⁶ = 0.674

PV = 40 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.674) = 186 279.20

NPV

NPV = 186 279.20 − 200 000 = −€13 720.80

答案

NPV = −€13 720.80

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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