投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €5 000。求 14 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 4%t = 14

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 8 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 8 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 3%n = 8

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 1%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6y₁ = 2.5%y₂ = 1%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 3YTM = 7%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 9%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 4%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1D/E = 0.6T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在 4 年内每年年末回报 €10 500。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 500, €13 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8753 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·14 = 0.56

e^0.56 = 1.751

终值

FV = 5 000·1.751 = €8 753.36

答案

FV = €8 753.36

2.货币的时间价值

答案: FV = 45796 €

普通年金系数

((1 + 0.03)⁸ − 1)/0.03 = 8.892

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·8.892·1.03 = €45 795.53

答案

FV = €45 795.53

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 94.12 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.025, N = 6

€50.00·(1 − 0.8623)/0.025 + €1 000·0.8623 = €275.41 + €862.30 = €1 137.70

按新收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.01, N = 6

€50.00·(1 − 0.942)/0.01 + €1 000·0.942 = €289.77 + €942.05 = €1 231.82

变化

ΔP = 1 231.82 − 1 137.70 = €94.12

答案

ΔP = €94.12

4.债券定价与收益率

答案: D = 2.937 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.07 = 18.69, t·PV = 18.69

t = 2: 20/1.145 = 17.47, t·PV = 34.94

t = 3: 1020/1.225 = 832.62, t·PV = 2 497.87

久期

P = 868.78

D = 2 551.50/868.78 = 2.937

答案

D = 2.937 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.097 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.5·7%·(1 − 0.258) = 7.097%

答案

WACC = 7.097%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.68 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1·(1 + 0.7·0.6) = 1.42

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.42·4% = 7.68%

答案

r_e = 7.68%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.542 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 10 500/1.1 = 9 545.45 → Σ = 9 545.45

年份 2: 10 500/1.21 = 8 677.69 → Σ = 18 223.14

年份 3: 10 500/1.331 = 7 888.81 → Σ = 26 111.95

年份 4: 10 500/1.464 = 7 171.64 → Σ = 33 283.59

最后一年的分数

DPB = 3 + 3 888.05/7 171.64 = 3.542

答案

DPB = 3.542 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 21.15 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 277.78

NPV(25%) = −880.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·277.78/(277.78 − (−880.00)) = 21.2%

精确: NPV(21.15%) = 0 → IRR = 21.15%

答案

IRR = 21.15%

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