投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €20 000，按季度复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0003.6% / 4n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0005.4% / 12N = 72

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 2.5%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 010，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 8.3 年。如果收益率上升 50 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 010y = 6%D = 8.3Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 1.5r_e = 8%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 9 年），每张交易价格为 €929。税率为 21%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €8 000 000r_e = 10%债券: 4 000 × €929票面利率 = 4%n = 9T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €28 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €28 000g = 2%r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €14 500, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 25703 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·7 = 28

终值

FV = 20 000·(1 + 0.009)²⁸ = 20 000·1.285 = €25 702.93

答案

FV = €25 702.93

2.货币的时间价值

答案: A = 195.5 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7238

A = 12 000·0.0045/(1 − 0.7238) = €195.49

答案

A = €195.49

3.债券定价与收益率

答案: P = 1052 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0125, N = 24

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7422)/0.0125 = €309.36

面值的现值

€1 000·0.7422 = €742.20

价格

P = €1 051.56

答案

P = €1 051.56

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 970.5 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.3/1.06 = 7.83

估计的价格变化

%ΔP ≈ −7.83·(0.005) = −3.915%

P ≈ 1010·(1 − 0.03915) = €970.46

答案

P = €970.46

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.981 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·8% + 0.6·4%·(1 − 0.258) = 4.981%

答案

WACC = 4.981%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.081 %

债务成本 (YTM)

929 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 4.999%

市场价值

D = 4 000·€929 = €3 716 000

V = €11 716 000, E/V = 0.6828, D/V = 0.3172

WACC

WACC = 0.6828·10% + 0.3172·4.999%·(1 − 0.21) = 8.081%

答案

WACC = 8.081%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 30000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 28 000/(0.12 − 0.02) = 280 000.00

NPV

NPV = 280 000.00 − 250 000 = €30 000.00

答案

NPV = €30 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 10.49 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 165.29

NPV(15%) = −1 427.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·165.29/(165.29 − (−1 427.22)) = 10.52%

精确: NPV(10.49%) = 0 → IRR = 10.49%

答案

IRR = 10.49%

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