投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €10 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0006% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 15 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0003.6% / 12N = 180

I = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，13 年后到期。其到期收益率从 4% 变为 6%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 2%n = 13y₁ = 4%y₂ = 6%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 4YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 7%，税率为 30%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €48.00；其股权账面价值为 €57 600 000。公司刚支付了每股 €2.30 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €48 000 000，税前成本为 4.5%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €48.00股权账面价值 = €57 600 000D₀ = €2.30g = 4%D = €48 000 000r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€9 000, €9 000, €8 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 8 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 500, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 15 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7871 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.27 = €7 870.98

答案

PV = €7 870.98

2.货币的时间价值

答案: I = 59129 €

月供

i = 0.003, N = 180

A = 200 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻¹⁸⁰) = €1 439.61

利息总额

I = N·A − P = 180·1440 − 200 000 = €59 129.22

答案

I = €59 129.22

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −154.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.04, N = 13

€20.00·(1 − 0.6006)/0.04 + €1 000·0.6006 = €199.71 + €600.57 = €800.29

按新收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.06, N = 13

€20.00·(1 − 0.4688)/0.06 + €1 000·0.4688 = €177.05 + €468.84 = €645.89

变化

ΔP = 645.89 − 800.29 = −€154.39

答案

ΔP = −€154.39

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.618 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 80/1.025 = 78.05, t·PV = 78.05

t = 2: 80/1.051 = 76.15, t·PV = 152.29

t = 3: 80/1.077 = 74.29, t·PV = 222.86

t = 4: 1080/1.104 = 978.43, t·PV = 3 913.71

久期

P = 1 206.91

D = 4 366.91/1 206.91 = 3.618

答案

D = 3.618 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.338 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·12% + 0.375·7%·(1 − 0.3) = 9.338%

答案

WACC = 9.338%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.114 %

股权成本

D₁ = 2.3·1.04 = €2.39

r_e = 2.392/48 + 0.04 = 8.983%

市场价值

E = 2 000 000·€48.00 = €96 000 000

V = €144 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·8.983% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.25) = 7.114%

答案

WACC = 7.114%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1630 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 9 000/1.1 = 8 181.82

CF₂/(1 + 0.1)² = 9 000/1.21 = 7 438.02

CF₃/(1 + 0.1)³ = 8 000/1.331 = 6 010.52

相加

NPV = €1 630.35

答案

NPV = €1 630.35

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 26.7 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 400.00

NPV(30%) = −739.64

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·400.00/(400.00 − (−739.64)) = 26.75%

精确: NPV(26.7%) = 0 → IRR = 26.7%

答案

IRR = 26.7%

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