投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 500，共 11 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。

A = €1 500i = 4%n = 11

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0003.6% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 8.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7y₀ = 8%y₁ = 8.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 3.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 4YTM = 3.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 5%。税率为 28%。求 WACC。

E = €6 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_p = 6%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €35.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 2%r_m = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€19 000, €13 000, €14 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 13 000CF₃ = 14 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €9 000, €14 500, €10 500, €12 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 500CF₃ = 10 500CF₄ = 12 500

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 13141 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.6496)/0.04 = 8.76

现值

PV = 1 500·8.76 = €13 140.72

答案

PV = €13 140.72

2.货币的时间价值

答案: A = 273.5 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 15 000·0.003/(1 − 0.8355) = €273.55

答案

A = €273.55

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 5.671 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €70.00, i = 0.08, N = 7

€70.00·(1 − 0.5835)/0.08 + €1 000·0.5835 = €364.45 + €583.49 = €947.94

卖出价

C = €70.00, i = 0.085, N = 6

€70.00·(1 − 0.6129)/0.085 + €1 000·0.6129 = €318.75 + €612.95 = €931.70

持有期收益率

HPR = (70 + 931.70 − 947.94)/947.94 = 5.671%

答案

HPR = 5.671%

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.648 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 70/1.035 = 67.63, t·PV = 67.63

t = 2: 70/1.071 = 65.35, t·PV = 130.69

t = 3: 70/1.109 = 63.14, t·PV = 189.41

t = 4: 1070/1.148 = 932.44, t·PV = 3 729.77

久期

P = 1 128.56

D = 4 117.51/1 128.56 = 3.648

答案

D = 3.648 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.164 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 6 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €11 000 000

E/V = 0.5455, P_s/V = 0.1818, D/V = 0.2727

WACC

WACC = 0.5455·13% + 0.1818·6% + 0.2727·5%·(1 − 0.28) = 9.164%

答案

WACC = 9.164%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.035 %

市场价值

E = 1 000 000·€35.00 = €35 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.1·6% = 8.6%

权重

V = €39 900 000, E/V = 0.8772, D/V = 0.1228

WACC

WACC = 0.8772·8.6% + 0.1228·5%·(1 − 0.2) = 8.035%

答案

WACC = 8.035%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4460 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 19 000/1.07 = 17 757.01

CF₂/(1 + 0.07)² = 13 000/1.145 = 11 354.70

CF₃/(1 + 0.07)³ = 14 000/1.225 = 11 428.17

相加

NPV = €−4 460.12

答案

NPV = €−4 460.12

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 20.99 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 000·1.1³ = 11 979.00

14 500·1.1² = 17 545.00

10 500·1.1¹ = 11 550.00

12 500·1.1⁰ = 12 500.00

TV = 53 574.00

MIRR

MIRR = (53 574.00/25 000)^1/4 − 1 = 20.99%

答案

MIRR = 20.99%

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