投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €20 000。求 19 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 2%t = 19

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 000，共 27 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 27 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 000i = 5%n = 27

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 13 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €1 282。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 13P = €1 282YTM = 5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €920，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 9.9 年。如果收益率下降 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €920y = 6%D = 9.9Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.1。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.1D/E = 0.6T = 21%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €24 000, €25 000, €16 000, €21 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 24 000CF₂ = 25 000CF₃ = 16 000CF₄ = 21 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €34 000, €35 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 000CF₂ = 35 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 29246 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·19 = 0.38

e^0.38 = 1.462

终值

FV = 20 000·1.462 = €29 245.69

答案

FV = €29 245.69

2.货币的时间价值

答案: FV = 114805 €

普通年金系数

((1 + 0.05)²⁷ − 1)/0.05 = 54.67

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 000·54.67·1.05 = €114 805.17

答案

FV = €114 805.17

3.债券定价与收益率

答案: c = 8.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.05)⁻¹³ = €530.32

票息

C = (1282 − 530.32)/9.394 = €80.02

票面利率

c = 80.02/1000 = 8.002%

答案

c = 8.002%

4.债券定价与收益率

答案: P = 941.5 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 9.9/1.06 = 9.34

估计的价格变化

%ΔP ≈ −9.34·(−0.0025) = 2.335%

P ≈ 920·(1 + 0.02335) = €941.48

答案

P = €941.48

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.716 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·9% + 0.6·7%·(1 − 0.258) = 6.716%

答案

WACC = 6.716%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.73 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.1·(1 + 0.79·0.6) = 1.621

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.621·6% = 11.73%

答案

r_e = 11.73%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.383 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 24 000/1.1 = 21 818.18 → Σ = 21 818.18

年份 2: 25 000/1.21 = 20 661.16 → Σ = 42 479.34

年份 3: 16 000/1.331 = 12 021.04 → Σ = 54 500.38

年份 4: 21 000/1.464 = 14 343.28 → Σ = 68 843.66

最后一年的分数

DPB = 3 + 5 499.62/14 343.28 = 3.383

答案

DPB = 3.383 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.688 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 24.86 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 2 986.11

NPV(25%) = −80.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·2 986.11/(2 986.11 − (−80.00)) = 24.87%

精确: NPV(24.86%) = 0 → IRR = 24.86%

答案

IRR = 24.86%

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