投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €10 000。求 9 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 2%t = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0005.4% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 7y₀ = 4%y₁ = 3.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 045。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €1 045

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €30.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 11%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 4%r_m = 11%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 6 年内每年年末产生 €10 000，之后可以以 €12 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €10 000S = €12 000n = 6r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 500, €13 000, €14 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 000CF₃ = 14 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 11972 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·9 = 0.18

e^0.18 = 1.197

终值

FV = 10 000·1.197 = €11 972.17

答案

FV = €11 972.17

2.货币的时间价值

答案: A = 278.5 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8061

A = 12 000·0.0045/(1 − 0.8061) = €278.53

答案

A = €278.53

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 6.629 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.04, N = 7

€45.00·(1 − 0.7599)/0.04 + €1 000·0.7599 = €270.09 + €759.92 = €1 030.01

卖出价

C = €45.00, i = 0.035, N = 6

€45.00·(1 − 0.8135)/0.035 + €1 000·0.8135 = €239.78 + €813.50 = €1 053.29

持有期收益率

HPR = (45 + 1 053.29 − 1 030.01)/1 030.01 = 6.629%

答案

HPR = 6.629%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.989 %

收益率方程

€1 045 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(3%) = €1 091.59, P(4%) = €1 044.52

YTM = 3.989%

答案

YTM = 3.989%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.152 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·10% + 0.1111·3%·(1 − 0.21) = 9.152%

答案

WACC = 9.152%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.092 %

市场价值

E = 4 000 000·€30.00 = €120 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.8·7% = 9.6%

权重

V = €130 000 000, E/V = 0.9231, D/V = 0.07692

WACC

WACC = 0.9231·9.6% + 0.07692·4%·(1 − 0.25) = 9.092%

答案

WACC = 9.092%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6209 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

10 000·4.623 = 46 228.80

残值的现值

12 000/1.587 = 7 562.04

NPV

NPV = −60 000 + 46 228.80 + 7 562.04 = −€6 209.17

答案

NPV = −€6 209.17

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 45.35 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(45%) = 85.69

NPV(50%) = −1 074.07

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 45 + 5·85.69/(85.69 − (−1 074.07)) = 45.37%

精确: NPV(45.35%) = 0 → IRR = 45.35%

答案

IRR = 45.35%

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