货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €2 000，共 19 年。年利率为 10%。求该年金的现值 PV。
A = €2 000i = 10%n = 19
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €15 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €15 0002.4% / 12N = 36
A = €
3.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 7 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €940。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 7P = €940YTM = 4%
c = %
4.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 050。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 6P = €1 050
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €2 000 000re = 12%rd = 4%T = 21%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €24.00；其股权账面价值为 €14 400 000。公司刚支付了每股 €2.50 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €7 200 000，税前成本为 5%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 1 000 000P0 = €24.00股权账面价值 = €14 400 000D0 = €2.50g = 2%D = €7 200 000rd = 5%T = 25%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €5 000, €8 000, €6 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 5 000CF3 = 8 000CF4 = 6 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 500, €11 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 11 000
IRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 16730 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.1635)/0.1 = 8.365
现值
PV = 2 000·8.365 = €16 729.84
答案
PV = €16 729.84
2.货币的时间价值
答案: A = 432.3 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·3 = 36
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.9306
A = 15 000·0.002/(1 − 0.9306) = €432.26
答案
A = €432.26
3.债券定价与收益率
答案: c = 3 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.04)−7 = €759.92
票息
C = (940 − 759.92)/6.002 = €30.00
票面利率
c = 30/1000 = 3%
答案
c = 3%
4.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.984 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 050 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数值求解
P(5%) = €1 101.51, P(6%) = €1 049.17
YTM = 5.984%
答案
YTM = 5.984%
5.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.23 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·12% + 0.2·4%·(1 − 0.21) = 10.23%
答案
WACC = 10.23%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.58 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.5·1.02 = €2.55
re = 2.55/24 + 0.02 = 12.63%
市场价值
E = 1 000 000·€24.00 = €24 000 000
V = €31 200 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·12.63% + 0.2308·5%·(1 − 0.25) = 10.58%
答案
WACC = 10.58%
7.NPV 与 IRR
答案: NPV = 2423 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 9 000/1.1 = 8 181.82
CF2/(1 + 0.1)2 = 5 000/1.21 = 4 132.23
CF3/(1 + 0.1)3 = 8 000/1.331 = 6 010.52
CF4/(1 + 0.1)4 = 6 000/1.464 = 4 098.08
相加
NPV = €2 422.65
答案
NPV = €2 422.65
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
8.NPV 与 IRR
答案: IRR = 10 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 1 643.99
NPV(10%) = −0.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·1 643.99/(1 643.99 − (−0.00)) = 10%
精确: NPV(10%) = 0 → IRR = 10%
答案
IRR = 10%
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