投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…9PV = ?€8 000+2%+2%…r = 4%

一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 4%。求该房产今天的价值 PV。

C1 = €8 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.货币的时间价值困难
月01…72…300€250 000AB = ?A4.8% / 12

一笔 €250 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 6 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0004.8% / 12N = 300k = 72
B = €
3.债券定价与收益率中等
半年0123456€20€20€20 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 7%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 7%n = 3
P = €
4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 045，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 3.5 年。如果收益率下降 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P0 = €1 045y = 3%D = 3.5Δy = −25 bp
P = €
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€4 000 000re​ = 11%债务€3 000 000rd​ = 7%T = 30%

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 7%，税率为 30%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €3 000 000re = 11%rd = 7%T = 30%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益2 500 000 × €42.00β = 1.1rf​ = 2.5%, rm​ = 9.5%债务40 000 × €1 000rd​ = 7%T = 21%

某公司有2 500 000 股、每股 €42.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.1rf = 2.5%rm = 9.5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年0123−80 00028 50028 50048 500

一台机器今天花费 €80 000。它在 3 年内每年年末产生 €28 500，之后可以以 €20 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C0 = €80 000CF = €28 500S = €20 000n = 3r = 8%
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123−20 00013 5007 00013 000

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 500, €7 000, €13 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −20 000CF1 = 13 500CF2 = 7 000CF3 = 13 000
IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 400000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C1/(r − g) = 8 000/(0.04 − 0.02) = 8 000/0.02 = €400 000.00

答案

PV = €400 000.00
2.货币的时间价值

答案: B = 213996 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.004, N = 300
A = 250 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−300) = €1 432.49

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 72 = 228
B = 1432·(1 − (1 + 0.004)−228)/0.004 = €213 995.95

答案

B = €213 995.95
3.债券定价与收益率

答案: P = 920.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.035, N = 6

票息的现值

€20.00·(1 − 0.8135)/0.035 = €106.57

面值的现值

€1 000·0.8135 = €813.50

价格

P = €920.07

答案

P = €920.07

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 1054 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。

修正久期

Dmod = 3.5/1.03 = 3.398

估计的价格变化

%ΔP ≈ −3.398·(−0.0025) = 0.8495%
P ≈ 1045·(1 + 0.008495) = €1 053.88

答案

P = €1 053.88

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.386 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·11% + 0.4286·7%·(1 − 0.3) = 8.386%

答案

WACC = 8.386%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.912 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 2 500 000·€42.00 = €105 000 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

股权成本（CAPM）

re = 2.5% + 1.1·7% = 10.2%

权重

V = €145 000 000, E/V = 0.7241, D/V = 0.2759

WACC

WACC = 0.7241·10.2% + 0.2759·7%·(1 − 0.21) = 8.912%

答案

WACC = 8.912%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 9324 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

28 500·2.577 = 73 447.26

残值的现值

20 000/1.26 = 15 876.64

NPV

NPV = −80 000 + 73 447.26 + 15 876.64 = €9 323.91

答案

NPV = €9 323.91
8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 31.62 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 443.79
NPV(35%) = −875.37

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·443.79/(443.79 − (−875.37)) = 31.68%
精确: NPV(31.62%) = 0 → IRR = 31.62%

答案

IRR = 31.62%

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