投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €2 000。求 4 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 4%t = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 25 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1003% / 12N = 300

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 9%n = 8

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 090。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 5P = €1 090

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 3%。税率为 30%。求 WACC。

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 7.5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €34.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3.5%r_m = 9%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€17 000, €20 000, €12 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 20 000CF₃ = 12 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €20 500, €23 500, €13 500, €14 500。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 20 500CF₂ = 23 500CF₃ = 13 500CF₄ = 14 500

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2347 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·4 = 0.16

e^0.16 = 1.174

终值

FV = 2 000·1.174 = €2 347.02

答案

FV = €2 347.02

2.货币的时间价值

答案: FV = 44601 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·25 = 300

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2.115 − 1)/0.0025 = €44 600.78

答案

FV = €44 600.78

你自己存入了 €30 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 663 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.045, N = 16

票息的现值

€15.00·(1 − 0.4945)/0.045 = €168.51

面值的现值

€1 000·0.4945 = €494.47

价格

P = €662.98

答案

P = €662.98

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.98 %

收益率方程

€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(3%) = €1 137.39, P(4%) = €1 089.04

YTM = 3.98%

答案

YTM = 3.98%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.082 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €11 000 000

E/V = 0.5455, P_s/V = 0.09091, D/V = 0.3636

WACC

WACC = 0.5455·14% + 0.09091·7.5% + 0.3636·3%·(1 − 0.3) = 9.082%

答案

WACC = 9.082%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.896 %

市场价值

E = 2 000 000·€34.00 = €68 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9·5.5% = 8.45%

权重

V = €78 200 000, E/V = 0.8696, D/V = 0.1304

WACC

WACC = 0.8696·8.45% + 0.1304·6%·(1 − 0.3) = 7.896%

答案

WACC = 7.896%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2586 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 17 000/1.08 = 15 740.74

CF₂/(1 + 0.08)² = 20 000/1.166 = 17 146.78

CF₃/(1 + 0.08)³ = 12 000/1.26 = 9 525.99

相加

NPV = €−2 586.50

答案

NPV = €−2 586.50

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 19.77 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

20 500·1.08³ = 25 824.10

23 500·1.08² = 27 410.40

13 500·1.08¹ = 14 580.00

14 500·1.08⁰ = 14 500.00

TV = 82 314.50

MIRR

MIRR = (82 314.50/40 000)^1/4 − 1 = 19.77%

答案

MIRR = 19.77%

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