投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €15 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0005% / 4n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0005.4% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 4%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 10 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 10P = €935

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €47.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 2.5%r_m = 7.5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 8 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €4 000n = 8r = 10%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €19 000，之后每年增长 4%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €19 000g = 4%n = 8r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 10080 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·8 = 32

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.488 = €10 079.76

答案

PV = €10 079.76

2.货币的时间价值

答案: A = 464.2 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8061

A = 20 000·0.0045/(1 − 0.8061) = €464.22

答案

A = €464.22

3.债券定价与收益率

答案: P = 1026 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.02, N = 12

票息的现值

€22.50·(1 − 0.7885)/0.02 = €237.95

面值的现值

€1 000·0.7885 = €788.49

价格

P = €1 026.44

答案

P = €1 026.44

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.967 %

收益率方程

€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €932.90

YTM = 7.967%

答案

YTM = 7.967%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.03 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·3%·(1 − 0.3) = 10.03%

答案

WACC = 10.03%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.616 %

市场价值

E = 2 500 000·€47.50 = €118 750 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.2·5% = 8.5%

权重

V = €138 750 000, E/V = 0.8559, D/V = 0.1441

WACC

WACC = 0.8559·8.5% + 0.1441·3%·(1 − 0.21) = 7.616%

答案

WACC = 7.616%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 9623 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁸)/0.1 = 5.335

年化购置价格

30 000/5.335 = 5 623.32

EAC

EAC = 5 623.32 + 4 000 = €9 623.32

答案

EAC = €9 623.32

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −26213 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁸ = 0.7394

PV = 19 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.7394) = 123 787.24

NPV

NPV = 123 787.24 − 150 000 = −€26 212.76

答案

NPV = −€26 212.76

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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