投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 4

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 28 年内每月月末存入 €50。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €507.2% / 12N = 336

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 8 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 3% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 8y₀ = 3%y₁ = 4%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 8 年后到期，售价为 €945。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 8P = €945

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 4.5%。税率为 21%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 6%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €34.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€24 000, €25 000, €19 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 24 000CF₂ = 25 000CF₃ = 19 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €27 500, €19 000, €21 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 19 000CF₃ = 21 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 20.97 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/4 = 0.04875

复利一年

EAR = (1 + 0.04875)⁴ − 1 = 1.21 − 1 = 20.97%

答案

EAR = 20.97%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 53859 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·28 = 336

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(7.463 − 1)/0.006 = €53 859.49

答案

FV = €53 859.49

你自己存入了 €16 800；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = −2.287 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €80.00, i = 0.03, N = 8

€80.00·(1 − 0.7894)/0.03 + €1 000·0.7894 = €561.58 + €789.41 = €1 350.98

卖出价

C = €80.00, i = 0.04, N = 7

€80.00·(1 − 0.7599)/0.04 + €1 000·0.7599 = €480.16 + €759.92 = €1 240.08

持有期收益率

HPR = (80 + 1 240.08 − 1 350.98)/1 350.98 = −2.287%

答案

HPR = −2.287%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.993 %

收益率方程

€945 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(8%) = €1 000.00, P(9%) = €944.65

YTM = 8.993%

答案

YTM = 8.993%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.86 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €13 500 000

E/V = 0.7407, P_s/V = 0.1111, D/V = 0.1481

WACC

WACC = 0.7407·9% + 0.1111·6% + 0.1481·4.5%·(1 − 0.21) = 7.86%

答案

WACC = 7.86%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.707 %

市场价值

E = 2 000 000·€34.50 = €69 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.8·4% = 6.2%

权重

V = €79 200 000, E/V = 0.8712, D/V = 0.1288

WACC

WACC = 0.8712·6.2% + 0.1288·3%·(1 − 0.21) = 5.707%

答案

WACC = 5.707%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7734 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 24 000/1.15 = 20 869.57

CF₂/(1 + 0.15)² = 25 000/1.322 = 18 903.59

CF₃/(1 + 0.15)³ = 19 000/1.521 = 12 492.81

相加

NPV = €−7 734.03

答案

NPV = €−7 734.03

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 18.05 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 2 416.37

NPV(20%) = −1 446.76

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·2 416.37/(2 416.37 − (−1 446.76)) = 18.13%

精确: NPV(18.05%) = 0 → IRR = 18.05%

答案

IRR = 18.05%

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