投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €50 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0004.8% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 13 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €10 0004.2% / 12N = 156

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3.5%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 6 年后到期，售价为 €885。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6P = €885

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 12.8%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.4r_e = 12.8%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €42.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3%r_m = 7%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €11 000, €12 000, €7 000, €12 500。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 12 000CF₃ = 7 000CF₄ = 12 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €3 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €3 500n = 8

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 41281 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.211 = €41 281.15

答案

PV = €41 281.15

2.货币的时间价值

答案: A = 48.3 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·13 = 156

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.0035/(1.725 − 1) = €48.30

答案

A = €48.30

3.债券定价与收益率

答案: P = 1268 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0175, N = 18

票息的现值

€35.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €536.44

面值的现值

€1 000·0.7318 = €731.78

价格

P = €1 268.22

答案

P = €1 268.22

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.446 %

收益率方程

€885 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(7%) = €904.67, P(8%) = €861.31

YTM = 7.446%

答案

YTM = 7.446%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 10 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (12.8% − 3%)/1.4 = 7%

市场回报

r_m = 3% + 7% = 10%

答案

r_m = 10%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.193 %

市场价值

E = 2 000 000·€42.50 = €85 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.1·4% = 7.4%

权重

V = €127 000 000, E/V = 0.6693, D/V = 0.3307

WACC

WACC = 0.6693·7.4% + 0.3307·5%·(1 − 0.25) = 6.193%

答案

WACC = 6.193%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.432 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 11 000/1.08 = 10 185.19 → Σ = 10 185.19

年份 2: 12 000/1.166 = 10 288.07 → Σ = 20 473.25

年份 3: 7 000/1.26 = 5 556.83 → Σ = 26 030.08

年份 4: 12 500/1.36 = 9 187.87 → Σ = 35 217.95

最后一年的分数

DPB = 3 + 3 969.92/9 187.87 = 3.432

答案

DPB = 3.432 年

折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 8.149 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 20 000/3 500 = 5.714

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 8%: 5.747

i = 9%: 5.535

IRR = 8.149%

答案

IRR = 8.149%

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