投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €2 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003.6% / 4n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0003% / 12N = 72

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 5% 变为 7%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6y₁ = 5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 7 年后到期，售价为 €870。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 7P = €870

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.4。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 6%，税率为 30%。求 WACC。

D/E = 0.4r_e = 13%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.7。它计划采用 0.6 的负债权益比。税率为 28%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.7D/E = 0.6T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 3 年内每年年末产生 €22 500，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €22 500S = €6 000n = 3r = 6%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €9 000，之后每年增长 3%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €9 000g = 3%n = 10r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2664 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·8 = 32

终值

FV = 2 000·(1 + 0.009)³² = 2 000·1.332 = €2 664.08

答案

FV = €2 664.08

2.货币的时间价值

答案: A = 303.9 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 20 000·0.0025/(1 − 0.8355) = €303.87

答案

A = €303.87

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −98.42 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.05, N = 6

€60.00·(1 − 0.7462)/0.05 + €1 000·0.7462 = €304.54 + €746.22 = €1 050.76

按新收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.07, N = 6

€60.00·(1 − 0.6663)/0.07 + €1 000·0.6663 = €285.99 + €666.34 = €952.33

变化

ΔP = 952.33 − 1 050.76 = −€98.42

答案

ΔP = −€98.42

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.544 %

收益率方程

€870 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(8%) = €895.87, P(9%) = €849.01

YTM = 8.544%

答案

YTM = 8.544%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.49 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·13% + 0.2857·6%·(1 − 0.3) = 10.49%

答案

WACC = 10.49%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.014 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.7·(1 + 0.72·0.6) = 1.002

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.002·6% = 8.014%

答案

r_e = 8.014%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5180 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

22 500·2.673 = 60 142.77

残值的现值

6 000/1.191 = 5 037.72

NPV

NPV = −60 000 + 60 142.77 + 5 037.72 = €5 180.48

答案

NPV = €5 180.48

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −12049 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.08))¹⁰ = 0.6225

PV = 9 000/(0.08 − 0.03)·(1 − 0.6225) = 67 951.20

NPV

NPV = 67 951.20 − 80 000 = −€12 048.80

答案

NPV = −€12 048.80

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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