投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €40 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0004.8% / 12n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 19 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 19 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 4%n = 19

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 4y₀ = 9%y₁ = 10%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 6%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3YTM = 6%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €15 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 5 年），每张交易价格为 €1 070。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €15 000 000r_e = 10%债券: 2 000 × €1 070票面利率 = 4%n = 5T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€10 000, €15 000, €13 000, €15 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 15 000CF₃ = 13 000CF₄ = 15 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €19 000, €24 500, €22 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 24 500CF₃ = 22 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 25991 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·9 = 108

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.539 = €25 990.76

答案

PV = €25 990.76

2.货币的时间价值

答案: FV = 71945 €

普通年金系数

((1 + 0.04)¹⁹ − 1)/0.04 = 27.67

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·27.67·1.04 = €71 945.20

答案

FV = €71 945.20

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 6.393 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.09, N = 4

€60.00·(1 − 0.7084)/0.09 + €1 000·0.7084 = €194.38 + €708.43 = €902.81

卖出价

C = €60.00, i = 0.1, N = 3

€60.00·(1 − 0.7513)/0.1 + €1 000·0.7513 = €149.21 + €751.31 = €900.53

持有期收益率

HPR = (60 + 900.53 − 902.81)/902.81 = 6.393%

答案

HPR = 6.393%

4.债券定价与收益率

答案: D = 2.789 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 80/1.06 = 75.47, t·PV = 75.47

t = 2: 80/1.124 = 71.20, t·PV = 142.40

t = 3: 1080/1.191 = 906.79, t·PV = 2 720.37

久期

P = 1 053.46

D = 2 938.24/1 053.46 = 2.789

答案

D = 2.789 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.31 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·11% + 0.1111·6%·(1 − 0.2) = 10.31%

答案

WACC = 10.31%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.976 %

债务成本 (YTM)

1070 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 2.494%

市场价值

D = 2 000·€1 070 = €2 140 000

V = €17 140 000, E/V = 0.8751, D/V = 0.1249

WACC

WACC = 0.8751·10% + 0.1249·2.494%·(1 − 0.28) = 8.976%

答案

WACC = 8.976%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 11500 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 10 000/1.1 = 9 090.91

CF₂/(1 + 0.1)² = 15 000/1.21 = 12 396.69

CF₃/(1 + 0.1)³ = 13 000/1.331 = 9 767.09

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 15 000/1.464 = 10 245.20

相加

NPV = €11 499.90

答案

NPV = €11 499.90

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.43 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 4 049.59

NPV(15%) = −487.38

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·4 049.59/(4 049.59 − (−487.38)) = 14.46%

精确: NPV(14.43%) = 0 → IRR = 14.43%

答案

IRR = 14.43%

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