投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…9PV = ?€20 000+2.5%+2.5%…r = 8.5%

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 8.5%。求该房产今天的价值 PV。

C1 = €20 000g = 2.5%r = 8.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…180€150 000AAAA2.4% / 12, I = ?

一笔 €150 000 的贷款在 15 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €150 0002.4% / 12N = 180
I = €
3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 9 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 3% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 9y0 = 3%y1 = 4.5%
HPR = %
4.债券定价与收益率困难
年0123…8€1 135€60€60 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 135。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 8P = €1 135
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?普通股€6 000 000re​ = 14%优先股€1 500 000rp​ = 8%债务€4 000 000rd​ = 5%T = 20%

一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 5%。税率为 20%。求 WACC。

E = €6 000 000Ps = €1 500 000D = €4 000 000re = 14%rp = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
rf​ = 2.5%, rm​ − rf​ = 5%D/E = 0.25所有者权益βL​ = 1.3债务D/E = 1所有者权益re​ = ?债务T = 28%

一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 28%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 5%。求变化后的股权资本成本 re。

βL = 1.3D/E1 = 0.25D/E2 = 1T = 28%rf = 2.5%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV 与 IRR中等
年0123…10€40 000€3 000€3 000€3 000€3 000r = 8%, EAC = ?

一台机器今天花费 €40 000，使用 10 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C0 = €40 000M = €3 000n = 10r = 8%
EAC = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123…9−150 00015 000+5%+5%+5%r = 10%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €15 000，之后每年增长 5%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C0 = €150 000CF1 = €15 000g = 5%n = 9r = 10%
NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 333333 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.085 − 0.025) = 20 000/0.06 = €333 333.33

答案

PV = €333 333.33
2.货币的时间价值

答案: I = 28765 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.002, N = 180
A = 150 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−180) = €993.14

利息总额

I = N·A − P = 180·993.1 − 150 000 = €28 764.85

答案

I = €28 764.85
3.债券定价与收益率

答案: HPR = −6.294 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.03, N = 9
€50.00·(1 − 0.7664)/0.03 + €1 000·0.7664 = €389.31 + €766.42 = €1 155.72

卖出价

C = €50.00, i = 0.045, N = 8
€50.00·(1 − 0.7032)/0.045 + €1 000·0.7032 = €329.79 + €703.19 = €1 032.98

持有期收益率

HPR = (50 + 1 032.98 − 1 155.72)/1 155.72 = −6.294%

答案

HPR = −6.294%
4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.995 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€1 135 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(3%) = €1 210.59, P(4%) = €1 134.65
YTM = 3.995%

答案

YTM = 3.995%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.739 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 6 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €11 500 000
E/V = 0.5217, Ps/V = 0.1304, D/V = 0.3478

WACC

WACC = 0.5217·14% + 0.1304·8% + 0.3478·5%·(1 − 0.2) = 9.739%

答案

WACC = 9.739%
6.CAPM 与 WACC

答案: re = 11.97 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

βU = 1.3/(1 + 0.72·0.25) = 1.102

按新的 D/E 重新加杠杆

βL = 1.102·(1 + 0.72·1) = 1.895

股权成本（CAPM）

re = 2.5% + 1.895·5% = 11.97%

答案

re = 11.97%
7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8961 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08−10)/0.08 = 6.71

年化购置价格

40 000/6.71 = 5 961.18

EAC

EAC = 5 961.18 + 3 000 = €8 961.18

答案

EAC = €8 961.18
8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −47374 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.05)/(1.1))9 = 0.6579
PV = 15 000/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.6579) = 102 625.62

NPV

NPV = 102 625.62 − 150 000 = −€47 374.38

答案

NPV = −€47 374.38

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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