投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 20%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 20%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0002.4% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 12y₀ = 9%y₁ = 9.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 3.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 5YTM = 3.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 4%，税率为 30%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €11.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 10.5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€19 000, €20 000, €14 000, €19 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 20 000CF₃ = 14 000CF₄ = 19 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €3 500, €4 500, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 4 500CF₃ = 7 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 21 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.2/2 = 0.1

复利一年

EAR = (1 + 0.1)² − 1 = 1.21 − 1 = 21%

答案

EAR = 21%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 1109 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.5491

A = 250 000·0.002/(1 − 0.5491) = €1 108.99

答案

A = €1 108.99

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 5.37 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.09, N = 12

€60.00·(1 − 0.3555)/0.09 + €1 000·0.3555 = €429.64 + €355.53 = €785.18

卖出价

C = €60.00, i = 0.095, N = 11

€60.00·(1 − 0.3685)/0.095 + €1 000·0.3685 = €398.84 + €368.51 = €767.34

持有期收益率

HPR = (60 + 767.34 − 785.18)/785.18 = 5.37%

答案

HPR = 5.37%

4.债券定价与收益率

答案: D = 4.379 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 80/1.035 = 77.29, t·PV = 77.29

t = 2: 80/1.071 = 74.68, t·PV = 149.36

t = 3: 80/1.109 = 72.16, t·PV = 216.47

t = 4: 80/1.148 = 69.72, t·PV = 278.86

t = 5: 1080/1.188 = 909.33, t·PV = 4 546.66

久期

P = 1 203.18

D = 5 268.64/1 203.18 = 4.379

答案

D = 4.379 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.925 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·11% + 0.375·4%·(1 − 0.3) = 7.925%

答案

WACC = 7.925%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.472 %

市场价值

E = 2 000 000·€11.50 = €23 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·7% = 12.6%

权重

V = €44 000 000, E/V = 0.5227, D/V = 0.4773

WACC

WACC = 0.5227·12.6% + 0.4773·5%·(1 − 0.21) = 8.472%

答案

WACC = 8.472%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −181.4 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 19 000/1.08 = 17 592.59

CF₂/(1 + 0.08)² = 20 000/1.166 = 17 146.78

CF₃/(1 + 0.08)³ = 14 000/1.26 = 11 113.65

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 19 000/1.36 = 13 965.57

相加

NPV = €−181.41

答案

NPV = €−181.41

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.53 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 92.59

NPV(25%) = −736.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·92.59/(92.59 − (−736.00)) = 20.56%

精确: NPV(20.53%) = 0 → IRR = 20.53%

答案

IRR = 20.53%

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