投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 4.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 2.5%r = 4.5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 19 年内每月月末存入 €300。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3005.4% / 12N = 228

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 4%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 11y₀ = 8%y₁ = 7%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €975。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €975

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €8 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 7.2%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求股权资本成本 r_e。

E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 7.2%r_d = 3%T = 20%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €32.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3.5%r_m = 10%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€14 000, €11 000, €15 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 11 000CF₃ = 15 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €14 500, €16 000, €18 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 16 000CF₃ = 18 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 100000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.045 − 0.025) = 2 000/0.02 = €100 000.00

答案

PV = €100 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 118898 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·19 = 228

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2.783 − 1)/0.0045 = €118 898.01

答案

FV = €118 898.01

你自己存入了 €68 400；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 16.08 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €40.00, i = 0.08, N = 11

€40.00·(1 − 0.4289)/0.08 + €1 000·0.4289 = €285.56 + €428.88 = €714.44

卖出价

C = €40.00, i = 0.07, N = 10

€40.00·(1 − 0.5083)/0.07 + €1 000·0.5083 = €280.94 + €508.35 = €789.29

持有期收益率

HPR = (40 + 789.29 − 714.44)/714.44 = 16.08%

答案

HPR = 16.08%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.987 %

收益率方程

€975 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(8%) = €1 000.00, P(9%) = €974.69

YTM = 8.987%

答案

YTM = 8.987%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727

WACC 中的债务部分

0.2727·3%·(1 − 0.2) = 0.6545%

股权成本

r_e = (7.2% − 0.6545%)/0.7273 = 9%

答案

r_e = 9%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.729 %

市场价值

E = 2 500 000·€32.00 = €80 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9·6.5% = 9.35%

权重

V = €89 600 000, E/V = 0.8929, D/V = 0.1071

WACC

WACC = 0.8929·9.35% + 0.1071·4.5%·(1 − 0.21) = 8.729%

答案

WACC = 8.729%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3685 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 14 000/1.09 = 12 844.04

CF₂/(1 + 0.09)² = 11 000/1.188 = 9 258.48

CF₃/(1 + 0.09)³ = 15 000/1.295 = 11 582.75

相加

NPV = €3 685.27

答案

NPV = €3 685.27

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 8.614 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

14 500·1.06² = 16 292.20

16 000·1.06¹ = 16 960.00

18 000·1.06⁰ = 18 000.00

TV = 51 252.20

MIRR

MIRR = (51 252.20/40 000)^1/3 − 1 = 8.614%

答案

MIRR = 8.614%

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