投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 9 年。年利率为 7%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 7%n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 7 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0006% / 12N = 240k = 84

B = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 2.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 10y₀ = 2.5%y₁ = 4%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €948。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 3P = €948

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €16.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在 6 年内每年年末回报 €18 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 18 000CF₂ = 18 000CF₃ = 18 000CF₄ = 18 000CF₅ = 18 000CF₆ = 18 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 000, €13 000, €9 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 9 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 32576 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5439)/0.07 = 6.515

现值

PV = 5 000·6.515 = €32 576.16

答案

PV = €32 576.16

2.货币的时间价值

答案: B = 193688 €

月供

i = 0.005, N = 240

A = 250 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻²⁴⁰) = €1 791.08

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 84 = 156

B = 1791·(1 − (1 + 0.005)⁻¹⁵⁶)/0.005 = €193 687.92

答案

B = €193 687.92

3.债券定价与收益率

答案: HPR = −7.473 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.025, N = 10

€60.00·(1 − 0.7812)/0.025 + €1 000·0.7812 = €525.12 + €781.20 = €1 306.32

卖出价

C = €60.00, i = 0.04, N = 9

€60.00·(1 − 0.7026)/0.04 + €1 000·0.7026 = €446.12 + €702.59 = €1 148.71

持有期收益率

HPR = (60 + 1 148.71 − 1 306.32)/1 306.32 = −7.473%

答案

HPR = −7.473%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.017 %

每期

C = €35.00, N = 6

数值求解

i = 4.508% 每半年

YTM

YTM = 2·4.508% = 9.017%

答案

YTM = 9.017%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.679 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·10% + 0.4286·3%·(1 − 0.25) = 6.679%

答案

WACC = 6.679%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.598 %

市场价值

E = 4 000 000·€16.00 = €64 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.8·6.5% = 7.7%

权重

V = €103 200 000, E/V = 0.6202, D/V = 0.3798

WACC

WACC = 0.6202·7.7% + 0.3798·6%·(1 − 0.2) = 6.598%

答案

WACC = 6.598%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.426 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 18 000/1.1 = 16 363.64 → Σ = 16 363.64

年份 2: 18 000/1.21 = 14 876.03 → Σ = 31 239.67

年份 3: 18 000/1.331 = 13 523.67 → Σ = 44 763.34

年份 4: 18 000/1.464 = 12 294.24 → Σ = 57 057.58

最后一年的分数

DPB = 3 + 5 236.66/12 294.24 = 3.426

答案

DPB = 3.426 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.778 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.96 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 358.80

NPV(25%) = −1 416.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·358.80/(358.80 − (−1 416.00)) = 21.01%

精确: NPV(20.96%) = 0 → IRR = 20.96%

答案

IRR = 20.96%

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