投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €50 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0005% / 12n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 000，共 8 年，第一笔今天存入。账户年利率为 6%。第 8 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 000i = 6%n = 8

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 6%n = 3

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 10 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10P = €935

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 14%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 9 年），每张交易价格为 €1 078。税率为 21%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €6 000 000r_e = 14%债券: 2 000 × €1 078票面利率 = 4%n = 9T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 9 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €5 000n = 9r = 6%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €25 000，之后每年增长 3%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €25 000g = 3%n = 6r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 33544 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·8 = 96

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.491 = €33 543.87

答案

PV = €33 543.87

2.货币的时间价值

答案: FV = 20983 €

普通年金系数

((1 + 0.06)⁸ − 1)/0.06 = 9.897

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 000·9.897·1.06 = €20 982.63

答案

FV = €20 982.63

3.债券定价与收益率

答案: P = 1054 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.03, N = 6

票息的现值

€40.00·(1 − 0.8375)/0.03 = €216.69

面值的现值

€1 000·0.8375 = €837.48

价格

P = €1 054.17

答案

P = €1 054.17

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.013 %

收益率方程

€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(9%) = €935.82, P(10%) = €877.11

YTM = 9.013%

答案

YTM = 9.013%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.631 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·12% + 0.2857·5%·(1 − 0.258) = 9.631%

答案

WACC = 9.631%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.93 %

债务成本 (YTM)

1078 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 2.998%

市场价值

D = 2 000·€1 078 = €2 156 000

V = €8 156 000, E/V = 0.7357, D/V = 0.2643

WACC

WACC = 0.7357·14% + 0.2643·2.998%·(1 − 0.21) = 10.93%

答案

WACC = 10.93%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 13821 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.06⁻⁹)/0.06 = 6.802

年化购置价格

60 000/6.802 = 8 821.33

EAC

EAC = 8 821.33 + 5 000 = €13 821.33

答案

EAC = €13 821.33

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −40262 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.03)/(1.12))⁶ = 0.6049

PV = 25 000/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.6049) = 109 737.76

NPV

NPV = 109 737.76 − 150 000 = −€40 262.24

答案

NPV = −€40 262.24

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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