投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €1 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0003.6% / 12n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 12 年后得到 €30 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €30 0006% / 12N = 144

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 2.5%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 9 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 9P = €940

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.8。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 20%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.8D/E = 1T = 20%r_f = 2.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€12 000, €17 000, €18 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 17 000CF₃ = 18 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €10 500, €8 000, €11 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 8 000CF₃ = 11 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1286 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 1 000·(1 + 0.003)⁸⁴ = 1 000·1.286 = €1 286.11

答案

FV = €1 286.11

2.货币的时间价值

答案: A = 142.8 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·12 = 144

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.005/(2.051 − 1) = €142.76

答案

A = €142.76

3.债券定价与收益率

答案: P = 1117 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.0125, N = 10

票息的现值

€25.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €233.64

面值的现值

€1 000·0.8832 = €883.18

价格

P = €1 116.82

答案

P = €1 116.82

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.001 %

收益率方程

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(9%) = €940.05, P(10%) = €884.82

YTM = 9.001%

答案

YTM = 9.001%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.929 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·8% + 0.5455·3%·(1 − 0.21) = 4.929%

答案

WACC = 4.929%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.14 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.8·(1 + 0.8·1) = 1.44

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.44·6% = 11.14%

答案

r_e = 11.14%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5025 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 12 000/1.08 = 11 111.11

CF₂/(1 + 0.08)² = 17 000/1.166 = 14 574.76

CF₃/(1 + 0.08)³ = 18 000/1.26 = 14 288.98

相加

NPV = €−5 025.15

答案

NPV = €−5 025.15

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.13 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 671.30

NPV(25%) = −848.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·671.30/(671.30 − (−848.00)) = 22.21%

精确: NPV(22.13%) = 0 → IRR = 22.13%

答案

IRR = 22.13%

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