投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €25 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0003.6% / 12n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 18 年内每月月末存入 €150。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1505.4% / 12N = 216

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 2.5%n = 7

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 110。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 6P = €1 110

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 13%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €16.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 4%r_m = 10%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€27 000, €16 000, €21 000, €21 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 16 000CF₃ = 21 000CF₄ = 21 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €8 000, €12 000, €9 000, €9 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 12 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18090 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·9 = 108

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.382 = €18 090.03

答案

PV = €18 090.03

2.货币的时间价值

答案: FV = 54582 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·18 = 216

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.637 − 1)/0.0045 = €54 582.28

答案

FV = €54 582.28

你自己存入了 €32 400；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 1096 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.0125, N = 14

票息的现值

€20.00·(1 − 0.8404)/0.0125 = €255.41

面值的现值

€1 000·0.8404 = €840.37

价格

P = €1 095.78

答案

P = €1 095.78

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.034 %

收益率方程

€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(2%) = €1 112.03, P(3%) = €1 054.17

YTM = 2.034%

答案

YTM = 2.034%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.952 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·13% + 0.4286·4.5%·(1 − 0.21) = 8.952%

答案

WACC = 8.952%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.857 %

市场价值

E = 2 000 000·€16.00 = €32 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.6·6% = 7.6%

权重

V = €53 000 000, E/V = 0.6038, D/V = 0.3962

WACC

WACC = 0.6038·7.6% + 0.3962·4%·(1 − 0.2) = 5.857%

答案

WACC = 5.857%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10824 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 27 000/1.08 = 25 000.00

CF₂/(1 + 0.08)² = 16 000/1.166 = 13 717.42

CF₃/(1 + 0.08)³ = 21 000/1.26 = 16 670.48

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 21 000/1.36 = 15 435.63

相加

NPV = €10 823.53

答案

NPV = €10 823.53

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 20.06 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

8 000·1.06³ = 9 528.13

12 000·1.06² = 13 483.20

9 000·1.06¹ = 9 540.00

9 000·1.06⁰ = 9 000.00

TV = 41 551.33

MIRR

MIRR = (41 551.33/20 000)^1/4 − 1 = 20.06%

答案

MIRR = 20.06%

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