投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 3%r = 5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 4.8% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €900。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €20 000A = €9004.8% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 8%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 13 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 228。发行人可在 3 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 228赎回价格 = €1 080赎回时间 3 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €21.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 7%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€13 000, €17 000, €23 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 17 000CF₃ = 23 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €6 000, €7 500, €5 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 7 500CF₃ = 5 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 100000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.05 − 0.03) = 2 000/0.02 = €100 000.00

答案

PV = €100 000.00

2.货币的时间价值

答案: N = 24 次还款

将年金公式变形

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.004/900 = 0.9111

用对数求解

N = −ln(0.9111)/ln(1.004) = 23.32

向上取整到整次还款

23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 24

答案

N = 24 次还款

3.债券定价与收益率

答案: P = 810.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.04, N = 18

票息的现值

€25.00·(1 − 0.4936)/0.04 = €316.48

面值的现值

€1 000·0.4936 = €493.63

价格

P = €810.11

答案

P = €810.11

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 2.6 %

收益率方程

1228 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

数值求解

y = 2%: €1 248.42

y = 3%: €1 214.64

YTC = 2.6%

答案

YTC = 2.6%

到期收益率为 5.499%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.607 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·11% + 0.2857·3.5%·(1 − 0.25) = 8.607%

答案

WACC = 8.607%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.535 %

市场价值

E = 1 000 000·€21.00 = €21 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·4% = 10.2%

权重

V = €31 000 000, E/V = 0.6774, D/V = 0.3226

WACC

WACC = 0.6774·10.2% + 0.3226·7%·(1 − 0.28) = 8.535%

答案

WACC = 8.535%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −16852 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 13 000/1.1 = 11 818.18

CF₂/(1 + 0.1)² = 17 000/1.21 = 14 049.59

CF₃/(1 + 0.1)³ = 23 000/1.331 = 17 280.24

相加

NPV = €−16 851.99

答案

NPV = €−16 851.99

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 39.48 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 591.88

NPV(40%) = −65.60

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·591.88/(591.88 − (−65.60)) = 39.5%

精确: NPV(39.48%) = 0 → IRR = 39.48%

答案

IRR = 39.48%

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