投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €5 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0004% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 16 年内每月月末存入 €300。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3004.2% / 12N = 192

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 5 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €1 113。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 5P = €1 113YTM = 3.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，4 年后到期。其售价为 €882。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 4P = €882

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 7.72%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求股权资本成本 r_e。

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 7.72%r_d = 3%T = 25%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €37.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1.5%r_m = 7%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €26 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €26 000g = 3%r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 000, €16 500, €9 000。项目 B 需投入 €42 000，回报为 €13 000, €16 000, €21 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 22 000, 16 500, 9 000B: −42 000, 13 000, 16 000, 21 500

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4262 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.173 = €4 261.85

答案

PV = €4 261.85

2.货币的时间价值

答案: FV = 81930 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·16 = 192

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.956 − 1)/0.0035 = €81 930.31

答案

FV = €81 930.31

你自己存入了 €57 600；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 6.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.035)⁻⁵ = €841.97

票息

C = (1113 − 841.97)/4.515 = €60.03

票面利率

c = 60.03/1000 = 6.003%

答案

c = 6.003%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.006 %

每期

C = €22.50, N = 8

数值求解

i = 4.003% 每半年

YTM

YTM = 2·4.003% = 8.006%

答案

YTM = 8.006%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC 中的债务部分

0.375·3%·(1 − 0.25) = 0.8438%

股权成本

r_e = (7.72% − 0.8438%)/0.625 = 11%

答案

r_e = 11%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.976 %

市场价值

E = 5 000 000·€37.00 = €185 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.2·5.5% = 8.1%

权重

V = €190 250 000, E/V = 0.9724, D/V = 0.0276

WACC

WACC = 0.9724·8.1% + 0.0276·5%·(1 − 0.28) = 7.976%

答案

WACC = 7.976%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 120000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 26 000/(0.08 − 0.03) = 520 000.00

NPV

NPV = 520 000.00 − 400 000 = €120 000.00

答案

NPV = €120 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 3.984 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 13 000 − 22 000 = −9 000

ΔCF₂ = 16 000 − 16 500 = −500

ΔCF₃ = 21 500 − 9 000 = 12 500

差额的 IRR

NPV_Δ(3%) = 230.11

NPV_Δ(4%) = −3.67

r* = 3.984%

答案

r* = 3.984%

校核：在 3.984% 时两个 NPV 都是 €4 421.68。

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