投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 17 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 6%n = 17

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €6 000，共 6 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 6 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €6 000i = 7%n = 6

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 4%n = 4

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 050，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 11.9 年。如果收益率上升 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 050y = 5%D = 11.9Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.5 的股票要求回报为 12.25%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.5r_e = 12.25%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €58.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 2%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 2%r_m = 9%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €8 500, €8 500, €4 000, €4 500。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 500CF₃ = 4 000CF₄ = 4 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €27 500, €23 000, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 23 000CF₃ = 28 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 10477 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3714)/0.06 = 10.48

现值

PV = 1 000·10.48 = €10 477.26

答案

PV = €10 477.26

2.货币的时间价值

答案: FV = 45924 €

普通年金系数

((1 + 0.07)⁶ − 1)/0.07 = 7.153

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 6 000·7.153·1.07 = €45 924.13

答案

FV = €45 924.13

3.债券定价与收益率

答案: P = 926.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.02, N = 8

票息的现值

€10.00·(1 − 0.8535)/0.02 = €73.25

面值的现值

€1 000·0.8535 = €853.49

价格

P = €926.75

答案

P = €926.75

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 931 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 11.9/1.05 = 11.33

估计的价格变化

%ΔP ≈ −11.33·(0.01) = −11.33%

P ≈ 1050·(1 − 0.1133) = €931.00

答案

P = €931.00

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 9.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (12.25% − 4%)/1.5 = 5.5%

市场回报

r_m = 4% + 5.5% = 9.5%

答案

r_m = 9.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.84 %

市场价值

E = 2 500 000·€58.00 = €145 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.3·7% = 11.1%

权重

V = €150 250 000, E/V = 0.9651, D/V = 0.03494

WACC

WACC = 0.9651·11.1% + 0.03494·5%·(1 − 0.28) = 10.84%

答案

WACC = 10.84%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.2 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 8 500/1.05 = 8 095.24 → Σ = 8 095.24

年份 2: 8 500/1.103 = 7 709.75 → Σ = 15 804.99

年份 3: 4 000/1.158 = 3 455.35 → Σ = 19 260.34

年份 4: 4 500/1.216 = 3 702.16 → Σ = 22 962.50

最后一年的分数

DPB = 3 + 739.66/3 702.16 = 3.2

答案

DPB = 3.2 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.75 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 26.76 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 1 312.00

NPV(30%) = −2 264.45

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·1 312.00/(1 312.00 − (−2 264.45)) = 26.83%

精确: NPV(26.76%) = 0 → IRR = 26.76%

答案

IRR = 26.76%

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