投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €1 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004.8% / 4n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €20 0003% / 12N = 72

I = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 4%n = 3

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 5 年后到期，售价为 €900。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 5P = €900

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.1。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 25.8%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.2D/E₂ = 1.5T = 25.8%r_f = 4%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €50 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €50 000g = 2%r = 11%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 500, €15 500, €9 500。项目 B 需投入 €42 000，回报为 €11 000, €18 500, €22 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 22 500, 15 500, 9 500B: −42 000, 11 000, 18 500, 22 500

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1154 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 1 000·(1 + 0.012)¹² = 1 000·1.154 = €1 153.89

答案

FV = €1 153.89

2.货币的时间价值

答案: I = 1879 €

月供

i = 0.0025, N = 72

A = 20 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻⁷²) = €303.87

利息总额

I = N·A − P = 72·303.9 − 20 000 = €1 878.89

答案

I = €1 878.89

3.债券定价与收益率

答案: P = 1056 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.02, N = 6

票息的现值

€30.00·(1 − 0.888)/0.02 = €168.04

面值的现值

€1 000·0.888 = €887.97

价格

P = €1 056.01

答案

P = €1 056.01

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.54 %

收益率方程

€900 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(8%) = €920.15, P(9%) = €883.31

YTM = 8.54%

答案

YTM = 8.54%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.107 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·10% + 0.2857·4.5%·(1 − 0.25) = 8.107%

答案

WACC = 8.107%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 18.17 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.1/(1 + 0.742·0.2) = 0.9579

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9579·(1 + 0.742·1.5) = 2.024

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 2.024·7% = 18.17%

答案

r_e = 18.17%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 55556 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 50 000/(0.11 − 0.02) = 555 555.56

NPV

NPV = 555 555.56 − 500 000 = €55 555.56

答案

NPV = €55 555.56

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 9.057 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 000 − 22 500 = −11 500

ΔCF₂ = 18 500 − 15 500 = 3 000

ΔCF₃ = 22 500 − 9 500 = 13 000

差额的 IRR

NPV_Δ(9%) = 12.97

NPV_Δ(10%) = −208.11

r* = 9.057%

答案

r* = 9.057%

校核：在 9.057% 时两个 NPV 都是 €987.76。

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